Quantentheorie II - FIAS

5.1 · Zweiteilchen-Streuung
Kontraktionen fermionischer Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren her 8 .
• Diagramme mit Propagatorlinien, die die Vertizes innerhalb eines einzelnen Wechselwirkungsanteils
(also zwei Vertizes mit einer sie verbindenden Wechselwirkungslinie) verbinden, oder eine
geschlossene Schleife an einem einzelnen Vertex („Tadpole-Diagramm“) können weggelassen
werden, weil in diesem Fall die entsprechenden Kontraktionen über normalgeordnete Operatorpaare
innerhalb eines Wechselwirkungsoperators erfolgen und daher identisch verschwinden.
Diagramme, die wenigstens eine Schleife enthalten, die sich aus einer zusammenhängenden Folge
von Propagatorlinien zusammensetzt, verschwinden ebenfalls.
5.1.6 Anwendung auf das Yukawa- und Coulombpotential
Wir betrachten nun als Beispiel die erste Ordnung der Störungstheorie. Hier liegen aufgrund der Energie-
Impulserhaltung an den beiden Vertices alle Energien und Impulse im Diagramm durch die äußeren
Impulse fest. Wir brauchen also kein Impulsintegral auszuführen. Es gibt zwei Topologieklassen von
Diagrammen, die sich lediglich durch die Vertauschung der auslaufenden Linien voneinander unterscheiden:
i (1)
f i
=
σ ′ 1
p ′ 1
˜σ ′ 1
p 1
˜σ 1
⃗p 1 − ⃗p ′ 1
˜σ ′ 2
σ ′ 2
p ′ 2
˜σ 2
+
p 2
σ ′ 1
p ′ 1
˜σ ′ 1
˜σ
p 1
1
⃗p 1 − ⃗p ′ 1
σ ′
p ′ 2
2
˜σ ′ 2
(5.1.92)
˜σ 2
p 2
σ 1 σ 2
σ 1
σ 2
Bestimmen wir zunächst den Symmetriefaktor im linken Diagramm („direkter Term“). Dazu denken
wir uns die äußeren Beinchen zunächst noch abgetrennt und zählen, auf wie viele Arten jedes der
beiden Diagramme wir durch die entsprechenden Kontraktionen zusammengesetzt werden kann. Das
erste einlaufende Beinchen können wir mit jedem der beiden einlaufenden Beinchen des Wechselwirkungsdiagrammteils
verbinden, was einen Faktor 2 liefert. Alle Kontraktionen der anderen äußeren
Beinchen sind dann eindeutig durch die Topologie festgelegt. Dieselbe Überlegung gilt auch für das
zweite Diagramm („Austauschterm“). Folglich haben wir insgesamt einen Faktor 2. Jetzt brauchen wir
nur noch die Diagramme von oben nach unten abzulesen und den einzelnen Diagrammelementen die
oben beschriebenen analytischen Ausdrücke zuzuordnen (Übung!). Dann erhalten wir schließlich für
das linke Diagramm
i (1,1)
f i
= − i 2 · 2 · δ Ṽ (⃗p 1 − ⃗p ′ 1
σ 1 ′ δ ˜σ′ 1 ˜σ ′
1 ˜σ 1
δ )
Ṽ (⃗p 1 − ⃗p ′ 1
˜σ1 σ 1
δ
(2π) 3 σ ′
2 ˜σ 2
′δ˜σ ′
2 ˜σ 2
δ ˜σ2 σ 2
= −iδ σ ′
1 σ 1
δ )
σ ′
2 σ 2
. (5.1.93)
(2π) 3
Dabei haben wir für die Spinindizes die Einsteinsche Summationskonvention verwendet.
Das zweite Diagramm ergibt sich daraus einfach durch Vertauschen von (⃗p ′ 1 ,σ′ 1 ) mit ⃗p ′ 2 ,σ′ 2
sowie ein
umgekehrtes Vorzeichen aufgrund der Vertauschungsregel für äußere Fermionenbeinchen, d.h.
i (1,2)
f i
= +iδ σ ′
2 σ 1
δ σ ′
1 σ 2
Ṽ (⃗p 1 − ⃗p ′ 1 )
(2π) 3 . (5.1.94)
8 In der relativistischen Theorie ergibt sich als weitere Vorzeichenregel, daß bei einem Diagramm für jede geschlossene
Schleife, die nur aus Fermionenpropagatorlinien besteht, ein Faktor (−1) zu berücksichtigen ist. Man überlegt sich in der
betrachteten nichtrelativistischen Vakuumfeldtheorie leicht, indem man die Feynmanregeln im Raumzeitbereich anwendet,
daß solche Diagramme stets verschwinden, da hier der zeitgeordnete Propagator mit dem retardierten Propagator übereinstimmt.
Da nun in einer Schleife dieser Art wenigstens eine im Zeitargument eines Propagators auftretende Zeitdifferenz
stets negativ ist, liefert dieser Propagator einen Faktor 0.
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