Quantentheorie II - FIAS

Dies mit 1/ 1 − ˙⃗x 2 multipliziert liefert
Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
m d2 x 0
dτ = q d⃗x
dτ · ⃗E. (6.2.53)
dies entspricht aber genau (6.2.51).
Die räumlichen Gleichungen von (6.2.51) lauten
m d2 ⃗x
dτ = q ⃗E + d⃗x
dτ × B ⃗ . (6.2.54)
Daß (6.2.51) keine vier voneinander unabhängigen Gleichungen sind, folgt auch, wenn man (6.2.51)
mit dx µ /dτ überschiebt. Die rechte Seite ergibt wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors 0. Die
linke Seite ist proportional zu
d dx
µ dx µ
= 0. (6.2.55)
dτ dτ dτ
Da der Ausdruck in der Klammer definitionsgemäß identisch 1 ist, zeigt dies auch, daß die vier Gleichungen
(6.2.51) nicht nur redundant sondern auch einander nicht widersprechen. Dies ist allerdings
durch unsere manifest kovariante Konstruktion des Wirkungsfunktionals bereits im Ansatz gewährleistet.
Zu der Bewegungsgleichung (6.2.51) gelangen wir übrigens auch durch eine Anwendung des Hamiltonschen
Prinzips der kleinsten Wirkung auf das manifest kovariant geschriebene Wirkungsfunktional
∫
S[x] = S 0 [x] + S W [x] = −
⎛
⎞
√
√dx
dλ ⎝m
µ dx µ
dλ dλ + qA µ (x)dxµ ⎠, (6.2.56)
dλ
d.h. die Summe aus (6.2.38) und (6.2.39), wobei x 0 (λ) als vierte unabhängige Variable betrachtet wird.
Verwenden wir dann für den willkürlichen skalaren „Weltparameter“ λ die Eigenzeit τ des Teilchens,
erhalten wir tatsächlich (6.2.51) (Übung!).
6.3 Das klassische elektromagnetische Feld
In diesem Abschnitt wollen wir in aller Kürze an die Elektrodynamik und ihre manifest kovariante relativistische
Formulierung erinnern. Ausgangspunkt unserer Betrachtungen werden die Maxwellschen
Gleichungen im Vakuum sein, wobei wir Ladungen und Ströme für Punktteilchen betrachten wollen.
Wir werden alsbald an die Grenzen einer klassischen Theorie von Punktteilchen und Feldern stoßen,
die wie wir sehen werden erst in der quantisierten Theorie gelöst werden können, wenngleich nur im
Sinne der Störungstheorie.
6.3.1 Die Maxwellgleichungen im Vakuum
Wir schreiben die Maxwellgleichungen für den einfachsten Fall des Vakuums auf, wobei wir uns wieder
des Heaviside-Lorentzschen Einheitensystems bedienen wollen. Dabei handelt es sich um ein
rationalisiertes Gaußsches Einheitensystem, welches vornehmlich in der theoretischen Hochenergieteilchenphysik
gebräuchlich ist. Wir verwenden weiterhin auch die nützliche Konvention, Längen und
Zeiten in derselben Einheit zu messen und c = 1 zu setzen. Die Maxwellgleichungen in ihrer ursprünglichen
Form beschreiben die Dynamik von elektrischen und magnetischen Feldern ⃗ E und ⃗ B bei
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