Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
durch die Wahl der Vorzeichen in (2.6.1) bestimmt, wie wir weiter unten noch sehen werden) Energie
und Impuls der Felder. In unserem Falle also
H =
d
∫ 3 ⃗x Θ 0 0
∫R = d 3 ⃗xψ ∗ σ (x)(i∂ t )ψ σ (x) = d
∫ 3 ⃗x ψ ∗ σ (x) − ∆
ψ 3 3 3 2m σ (x),
(4.3.99)
p j = − d
∫ 3 ⃗x Θ 0 j
∫ = d 3 ⃗x ψ ∗ σ (x)(−i∂ j )ψ σ (x).
3 3
Drehungen
Für infinitesimale Drehungen um die Drehachse ⃗n haben wir mit den Pauli-Matrizen ˆ⃗σ gemäß (2.11.8)
und (2.11.11)
t ′ = t, ⃗x ′ = ⃗x − δφ⃗n × ⃗x, ψ ′ (x ′ ⃗n · ˆ⃗σ
) = 1 + iδφ ψ(x), (4.3.100)
2
d.h. in der Schreibweise (4.3.69)
⃗n · ˆ⃗σ
δ t = 0, δ x j = −δφε j k l n k x l , δψ = iδφ ψ. (4.3.101)
2
Die Noether-Bedingung (4.3.85) ist wieder mit Ω µ a = 0 erfüllt, und folglich ergibt sich gemäß (4.3.89)
für den Gesamtdrehimpuls, der die zur Rotationsinvarianz gehörige Erhaltungsgröse ist
⎡
∫
J k = − d 3 ⃗x Θ 0 j ε j k l x l − ˆσ ∫
ψ† k
3 2 ψ ⇒ J ⃗ = d 3 ⃗xψ † ⎣⃗x × (−i∇) ⃗ +
3
⎤
ˆ⃗σ
⎦ψ. (4.3.102)
2
Boosts
Für die Boosts ist der Phasenfaktor in (2.10.19) zu berücksichtigen, d.h. es gilt
t ′ = t, ⃗x ′ = ⃗x − δ ⃗w t, ψ ′ (x ′ ) = 1 − imδ ⃗w · ⃗x + (δ ⃗w 2 ) ψ(x). (4.3.103)
Da die Entwicklung nur bis zur ersten Ordnung in der infinitesimalen Boostgeschwindigkeit δ ⃗w erfolgen
muß, ist also
δψ = −imδ ⃗w · ⃗x ψ, δ t = 0, δ ⃗x = −δ ⃗w t. (4.3.104)
Die Auswertung von (4.3.85) ergibt wieder, daß Ω µ a = 0 gesetzt werden kann, und (4.3.89) liefert als
Erhaltungsgröße
∫
⃗K = d 3 ⃗x ψ † [m⃗x − t(−i∇)]ψ. ⃗ (4.3.105)
3
Zur Quantisierung im Fock-Raumformalismus schreibt man nun in den Ausdrücken (4.3.99,4.3.102,
4.3.105) für Erhaltungsgrößen für die Felder Feldoperatoren, und unter Verwendung der Kommutatorregeln
(4.2.12), wobei in unserem Fall für Spin-1/2-Teilchen die fermionischen Antikommutatoren
zu betrachten sind, läßt sich leicht zeigen (Übung!), daß die entsprechenden Operatoren H, ⃗p, ⃗ J und
⃗K wieder die Kommutatorregeln der Strahldarstellung der Galilei-Gruppe (2.6.33-2.6.41) erfüllen, wie
wir sie im Einteilchenformalismus hergeleitet hatten.
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