Quantentheorie II - FIAS

1.7 · Unitäre Symmetrietransformationen
ist. Also ist U eine umkehrbar eindeutige lineare Abbildung des Hilbertraums in sich, d.h. der
Operator besitzt ein Inverses, und es gilt
Ein wichtiges Beispiel für unitäre Operatoren sind Operatoren der Form
U −1 = U † . (1.6.5)
U(λ) = exp(iλA) mit A = A † , λ ∈ . (1.6.6)
Aus der Reihendarstellung (1.4.9) folgert man nämlich sofort, daß
Nun ist offenbar
U † (λ) = [exp(iλA)] † = exp(−iλA † ) = exp(−iλA). (1.6.7)
U † (λ)U(λ) = exp(−iλA)exp(iλA) = exp(0) = 1. (1.6.8)
Dabei haben wir allerdings verwendet, daß wir für die Operatorexponentialabbildung für beliebige
kommutierende Operatoren A und B die Gleichung
exp(A)exp(B) = exp(A + B) falls [A, B] = 0 (1.6.9)
verwenden dürfen, als ob A und B reelle oder komplexe Zahlen wären. Daß dies tatsächlich der Fall
ist, folgert man daraus, daß für kommutierende Operatoren die binomische Formel wie für Zahlen gilt,
d.h.
n∑ n
(A + B) n = A
k
k B n−k falls [A, B] = 0. (1.6.10)
Nun gilt
k=0
exp(A)exp(B) =
∞∑
n 1 ,n 2 =0
1
n 1 !n 2 ! An 1B n 2. (1.6.11)
Ohne Beweis nehmen wir an, daß wir diese Doppelreihe beliebig umordnen dürfen. Dann können wir
stets Operatorprodukte mit gleichen n = n 1 + n 2 zusammenfassen. Es folgt
exp(A)exp(B) =
∞∑
n∑
n=0 k=0
Dabei haben wir die Beziehung
1
k!(n − k)! Ak n−k (1.6.10)
B =
n
k
=
n!
∞∑
n=0
k!(n − k)!
1
n! (A + B)n =: exp(A + B). (1.6.12)
(1.6.13)
verwendet. Es ist klar, daß wir all diese Manipulationen nicht hätten durchführen können, wenn A und
B nicht kommutieren. Dann gilt auch (1.6.9) i.a. nicht mehr.
1.7 Unitäre Symmetrietransformationen
Als Symmetrietransformation bezeichnen wir eine umkehrbar eindeutige simultane Abbildung der Zustände
|ψ〉 → ψ ′ und Operatoren O → O ′ , die alle physikalischen Aussagen bzgl. des betrachteten
Systems ungeändert lassen.
Betrachten wir die Abbildung
ψ ′ = U |ψ〉, O ′ = UOU † (1.7.1)
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