Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 7 · Einführung in die Quantenelektrodynamik
funktional nach A µ differenzieren:
δS
δA µ
= ∂ µ F µν − q j ν !
= 0. (7.1.17)
In zeitliche und räumliche Komponenten aufgespaltet folgt unter Verwendung der Eichbedingung
(7.1.5)
∆A 0 = −q j 0 , (7.1.18)
□ ⃗ A = q ⃗ j − ⃗ ∇Ȧ0 . (7.1.19)
In der Tat ergibt sich daraus sofort als Lösung für A 0
A 0 (x) = q ∫
d 3 ⃗x ′ ρ(t, ⃗x ′ )
4π 3 |⃗x − ⃗x ′ |
mit ρ = j 0 . (7.1.20)
Die Verträglichkeit der Gleichung (7.1.19) mit der Eichbedingung (7.1.15) folgt aus der Kontinuitätsgleichung,
denn es ist
div□A ⃗ = qdiv ⃗ (7.1.18)
j − q∆Ȧ0 = qdiv ⃗ j + q∂ t j 0 = q∂ µ j µ = 0. (7.1.21)
Hier zeigt sich der bereits oben mehrfach erwähnte wichtige Zusammenhang zwischen lokaler Eichinvarianz
und Stromerhaltung: Die Stromerhaltung ist eine notwendige Bedingung für die Konsistenz
der eichfixierten Bewegungsgleichungen mit der Eichbedingung (7.1.5), und die Möglichkeit, diese
Nebenbedingung zu fordern ist ihrerseits allein durch die Eichinvarianz der Theorie gerechtfertigt.
Schließlich lautet nach der Eichfixierung mittels der Coulombeichbedingung (7.1.15) die Wirkung
∫ 1
S = d 4 x
˙⃗A 2 + 1 ⃗A· ∆A+ ⃗ ψ(i /∂ − m)ψ − q
4 2 2
2 A 0 ψγ 0 ψ + qA· ⃗ ψ⃗γψ . (7.1.22)
Dabei ist für A 0 die Lösung (7.1.20) einzusetzen. Außerdem ist stets die Eichbedingung (7.1.15) zu
berücksichtigen, von der wir eben gezeigt haben, daß sie konsistent mit den Bewegungsgleichungen
ist. Wir können nunmehr die Spinorelektrodynamik kanonisch quantisieren und Störungstheorie
betreiben wie wir es im nichtrelativistischen Fall in Kaptitel 5 gezeigt haben.
Betrachten wir noch die physikalische Bedeutung unserer klassischen Theorie. Da der Wechselwirkungsterm
int = −qA µ ψγ µ ψ (7.1.23)
keine Ableitungen enthält, behält auch im wechselwirkenden Fall der Strom dieselbe Form wie für
freie Dirac-Felder:
j µ = ψγ µ ψ. (7.1.24)
Der elektromagnetische Strom ist durch
j µ em = q j µ (7.1.25)
gegeben. Dies wird insbesondere klar, wenn wir die Feldgleichungen (7.1.17) mit Hilfe der Komponenten
des Faraday-tensors
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ (7.1.26)
224