Quantentheorie II - FIAS

4.5 · Gleichgewichtsthermodynamik idealer Gase
so muß entsprechend vor dem Grenzübergang V → ∞ die Dichte der Teilchen im Kondensat
ρ B,kond = ρ B − ρ B,krit (4.5.20)
gesetzt werden. Dann ist mit V → ∞ der Grenzübergang α → 0 gemäß (4.5.16) so zu führen, daß
ρ B,kond = N B,kond
V
bleibt.
Für das Bosegas lautet also der korrekte Grenzübergang für V → ∞
2s + 1
=
= const (4.5.21)
V (expα − 1)
∫
d
⎧⎪ 3 p
ρ B = N ⎨ (2s + 1)
B
V = 3 (2π) n 3 B [E(⃗p);β,α] falls ρ B < ρ B,krit ,
∫
⎪ d 3 (4.5.22)
p
⎩ ρ B,kond + (2s + 1)
(2π) n 3 B [E(⃗p);β,α = 0] falls ρ B ≥ ρ B,krit .
3
Für das Fermigas treten diese Komplikationen nicht auf, denn wir können α ∈ (d.h. auch µ ∈ )
wählen und so jede beliebige Teilchenzahl für alle T ≥ 0 erhalten, d.h. es gilt stets
∫
d 3 p
ρ F = (2s + 1)
3 (2π) n 3 F [E(⃗p);β,α]. (4.5.23)
Zur mittleren Energie tragen im Fall des Bosegases die Kondensatteilchen freilich nichts bei, denn es
ist E(⃗p = 0) = 0. Es gilt dann also für die Energie sowohl für Bose- als auch für Fermigase
∫
U = (2s + 1)V
3
d 3 p
(2π) E(⃗p)n 3 B/F [E(⃗p);β,α]. (4.5.24)
Schließlich berechnen wir noch die Entropie des Gases. Definitionsgemäß ist
S = −k B Tr(R ln R) = k B 〈βH + αN + Φ1〉 T,µ
= k B (Φ + βU + αN). (4.5.25)
Im Falle des Bosegases müssen wir wieder den Fall, daß ein Bose-Einstein-Kondensat vorliegt, besonders
berücksichtigen. Gemäß (4.5.9) ist der Beitrag des Kondensats
Φ cond
V = − 1 V ln[1 − exp(−α)] = α V − 1 V
ln[exp(α) − 1]. (4.5.26)
Gemäß (4.5.22) ist der Grenzwert V → ∞ so zu führen, daß expα − 1 ∼ 1/V ist, und das bedeutet,
daß (4.5.26) im Limes verschwindet. Wir können also das großkanonische Potential sowohl für Boseals
auch für Fermigase durch die naive Ersetzung (4.5.15) berechnen, d.h. es gilt
∫
d 3
p
Φ = ∓(2s + 1)V
(2π) ln 1 ∓ exp
−β ⃗p2
3 2m − α . (4.5.27)
3
Diese Form ist allerdings für die folgenden Rechnungen etwas unbequem. Drücken wir aber das Integral
in Kugelkoordinaten aus und integrieren einmal partiell, erhalten wir nach einigen Umformungen
(Übung!)
∫
(2s + 1)V β ∞
Φ = dP P 4 n
6π 2 m
B/F [E(⃗p),β,α]. (4.5.28)
0
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