Quantentheorie II - FIAS

6.2 · Das klassische Teilchenbild
Wegen
d ⃗A(x) = ∂ ⃗A(x) + (˙⃗x · ⃗∇) A ⃗ (6.2.43)
dt ∂ t
folgt für die Bewegungsgleichung gemäß (6.2.41)
m d
˙⃗x
dt 1 − ˙⃗x
+ q ∂
⃗A+ q(˙⃗x · ⃗∇) ⃗ ∂
A+ q 2 ∂ t
∂ ⃗x A0 − ∂
∂ ⃗x (˙⃗x · ⃗A) = 0. (6.2.44)
Nun gilt
∂
a
∂ ⃗x (˙⃗x · ⃗A) − (˙⃗x · ⃗∇) A ⃗ ∂
= ẋ b ∂ x a Ab −
∂
∂ x b Aa
= ẋ b ε ab c ( ⃗ ∇ × ⃗ A) c = [˙⃗x × ( ⃗ ∇ × ⃗ A)] a = (˙⃗x × ⃗ B) a (6.2.45)
und
⃗E = − ∂ ∂ t
⃗A− ⃗ ∇A 0 . (6.2.46)
Dies in (6.2.44) eingesetzt liefert schließlich
m d
˙⃗x
dt 1 − ˙⃗x
= q( E ⃗ + ˙⃗x × B). ⃗ (6.2.47)
2
Die Änderung dieser relativistischen Bewegungsgleichung gegenüber der nichtrelativistischen besteht
also lediglich darin, daß man statt des nichtrelativistischen (mechanischen) Impulses m⃗ẋ den relativistischen
Ausdruck (6.2.12) einzusetzen hat, denn auf der rechten Seite steht die gewohnte Lorentz-Kraft,
die auf ein Teilchen mit elektrischer Ladung q im elektromagnetischen Feld ( ⃗ E, ⃗ B) wirkt.
Man kann diese Gleichung in eine manifest kovariante Form bringen, indem man bedenkt, daß
gilt. Daraus folgt
und somit
dτ = 1 − ˙⃗x 2 dt,
d
dt
d
dτ = dt
dτ
d
dt = 1 d
1 − ˙⃗x 2 dt
(6.2.48)
˙⃗x d⃗x ˙⃗x
dτ = 1 − ˙⃗x
(6.2.49)
2
˙⃗x
1 − ˙⃗x
= d
d⃗x
2 dt dτ = 1 − ˙⃗x d2 ⃗x
(6.2.50)
dτ 2
Setzt man dies in (6.2.47) ein und bringt dividiert durch den Wurzelausdruck, so erkennt man, daß die
entstehende Gleichung wegen (6.2.34) gerade die räumlichen Komponenten der kovarianten Gleichung
m d2 x µ
dτ 2
= qF µ ν (x)dxν dτ
(6.2.51)
bilden. Dabei ist die zeitliche Gleichung redundant, denn multipliziert man (6.2.47) skalar mit ˙⃗x, erhält
man (Übung!)
m ˙⃗x · d
˙⃗x
dt 1 − ˙⃗x
= d
m
2 dt 1 − ˙⃗x
= m d dt
2 dt dτ = q ˙⃗x · ⃗E. (6.2.52)
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