Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Aus den og. Tensorkomponenten läßt sich nun aber sofort ein eichinvarianter Ausdruck gewinnen,
nämlich der Faraday- oder Feldstärketensor, dem wir bereits in Abschnitt 6.2.4 bei der Bewegung
eines geladenen Teilchens in einem vorgegebenen elektromagnetischen Feld begegnet sind:
F µν := ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (6.3.21)
Als total antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe besitzt dieser Tensor auch gerade sechs unabhängige
Komponenten, entsprechend den sechs Feldfreiheitsgraden ⃗ E und ⃗ B im „Dreierformalismus“. Den
Zusammenhang zu ⃗ E und ⃗ B können wir durch Zerlegung in zeitliche und räumliche Komponenten
ersehen:
F 0 n = ∂ 0 A n − ∂ n A 0 = ∂ An
∂ t
+ ∂ Φ
∂ x n = −E n ,
F m n = ∂ m A n − ∂ n A m = ∂ An
∂ x m − ∂ Am
∂ x n = ε mn r (rot ⃗ A) r = ε mn r B r .
(6.3.22)
Relativistisch gesehen haben wir es also nicht mit zwei getrennten elektrischen und magnetischen Feldern
zu tun, handelt es sich doch lediglich um Komponenten des kovarianten Faraday-Tensors. Wir
sprechen daher auch lieber vom elektromagnetischen Feld oder der elektromagnetischen Wechselwirkung.
Besonders übersichtlich ergibt sich der Zusammenhang zwischen elektrischem und magnetischem
Feld und dem kovarianten Feldstärketensor mittels ko- oder kontravarianten Komponenten,
wo er als antisymmetrische Matrix wie folgt geschrieben werden kann:
⎛
0 −E 1 −E 2 −E 3 ⎞
(F µν ) = ⎜E 1 0 −B 3 B 2
⎟
⎝E 2 B 3 0 −B 1 ⎠ . (6.3.23)
E 3 −B 2 B 1 0
Das Transformationsverhalten der elektromagnetischen Feldgrößen unter Lorentztransformationen
ist nunmehr ebenfalls offensichtlich. Das Viererpotential transformiert sich als Vektorfeld. Ist also der
Wechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen durch die Lorentztransformation gemäß (6.1.11),
d.h. im Matrizenkalkül x ′ = Λx, gegeben, lauten die Komponenten des Viererpotentialfeldes im neuen
Bezugssystem
A ′ (x ′ ) = ΛA(x) = ΛA(Λ −1 x ′ ). (6.3.24)
Eine physikalische Größe mit einem solchen Transformationsverhalten bezeichnen wir als Vierervektorfeld.
Entsprechend transformiert sich der Feldstärketensor gemäß
F ′ µν (x ′ ) = Λ µ ρ Λν σ F ρσ (Λ −1 x ′ ), (6.3.25)
also wie ein Tensorfeld zweiter Stufe. Insbesondere ergibt sich daraus für einen drehungsfreien Boost
(6.1.25) für die elektrischen und magnetischen Feldkomponenten
⃗E ′ = (⃗n · ⃗E)⃗n + ⃗n × ( E ⃗ × ⃗n) + ⃗v × B ⃗ ,
1 − ⃗v 2
⃗B ′ = (⃗n · ⃗B)⃗n + ⃗n × ( B ⃗ × ⃗n) − ⃗v × E ⃗ .
1 − ⃗v 2
(6.3.26)
Nun wollen wir noch die Maxwellgleichungen in kovarianter Form mittels des Feldstärketensors schreiben.
Dies hat den Vorteil, daß es sich um eichinvariante Gleichungen handelt. Die Maxwellgleichungen
(6.3.1) müssen sich als Differentialgleichungen 1. Ordnung des Feldstärketensors ausdrücken lassen.
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