Quantentheorie II - FIAS

4.5 · Gleichgewichtsthermodynamik idealer Gase
Jetzt können wir die Zustandssumme (4.5.2) problemlos berechnen. Wie wir gleich sehen werden, empfiehlt
es sich aber, statt des konstanten Parameters α eine Funktion α(⃗p,σ) einzuführen. Dann ist
ñ(⃗p,σ)
exp[−βH − ∑
α(⃗p,σ)Ñ(⃗p,σ)] ñ(⃗p,σ)
⃗p,σ
⎡
⎤
= exp⎣− ∑ ñ(⃗p,σ)[βE(⃗p) + α(⃗p,σ)] ⎦
(4.5.8)
⃗p,σ
= ∏ exp −ñ(⃗p,σ)[βE(⃗p) + α(⃗p,σ)] .
⃗p,σ
Für jedes (⃗p,σ) ist über den dazugehörigen Besetzungszahleigenwert gemäß (4.5.6) zu summieren. Für
Bosonen ist dies jeweils eine geometrische Reihe, für Fermionen eine endliche Summe:
⎡
⎤
Z = Trexp⎣−βH − ∑ α(⃗p,σ)Ñ(⃗p,σ) ⎦ = ∏ ∑
exp −ñ(⃗p,σ)[βE(⃗p) + α(⃗p,σ)]
⃗p,σ
⃗p,σ ñ(⃗p,σ)
⎧
∏
1
⎪⎨ 1 − exp[−βE(⃗p) − α(⃗p,σ)] , (4.5.9)
= ∏
⃗p,σ
1 + exp[−βE(⃗p) − α(⃗p,σ)] . ⎪⎩
Dabei ist zu beachten, daß für Bosonen α > 0 (d.h. µ < 0) sein muß, damit die Summe über n(⃗p,σ)
konvergiert. Der vom Einteilchengrundzustand ⃗p = 0 herrührende Beitrag divergiert (für α → 0).
Wir werden unten sehen, daß diese Einschränkung wichtige physikalische Konsequenzen hat. Für das
großkanonische Potential haben wir also
⎧
− ∑ ln 1 − exp[−βE(⃗p) − α(⃗p,σ)] ,
⎪⎨
⃗p,σ
Φ = ln Z =
⎪⎩
+ ∑ ln 1 + exp[−βE(⃗p) − α(⃗p,σ)] (4.5.10)
.
⃗p,σ
⃗p,σ
Als nächstes berechnen wir die mittlere Besetzungszahl des Einteilchenzustandes im großkanonischen
Zustand (4.5.1). Es gilt
⎡
⎤
ñ(⃗p ′ ,σ ′ )
Ñ(⃗p,σ)exp⎣−βH − ∑
α(⃗p,σ)N(⃗p,σ) ⎦
⃗p,⃗σ
ñ(⃗p′ ,σ ′ ) = ñ(⃗p,σ)
× ∏ exp −ñ(⃗p ′ ,σ ′ )[βE(⃗p ′ ) + α(⃗p ′ ,σ ′ )] (4.5.11)
.
⃗p ′ ,σ ′
Demnach erhalten wir die mittlere Besetzungszahl durch logarithmische Ableitung von (4.5.9) nach
α(⃗p,σ):
⎧
1
für Bosonen,
∂
⎪⎨
Ñ(⃗p,σ) = 〈N〉 T,µ
= −
∂ α(⃗p,σ)
α(⃗p,σ)=α
ln Z exp[βE(⃗p) + α] − 1
=
(4.5.12)
1
⎪⎩
für Fermionen.
exp[βE(⃗p) + α] + 1
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