Quantentheorie II - FIAS

7.1 · Klassische Elektrodynamik als Eichtheorie
Damit das Eichfeld dynamische Photonen beschreibt, müssen wir noch den eichinvarianten Term für
freie masselose Vektorfelder als „kinetischen Term“ zur Lagrangedichte (6.3.67) hinzuaddieren. Damit
haben wir die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik
= − 1 4 F µν F µν + ψ(i /∂ − m)ψ − qA µ j µ mit j µ = ψγ µ ψ, F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ (7.1.14)
aus dem Prinzip der Eichinvarianz hergeleitet. Da die zugrundegelegte Symmetriegruppe U(1) abelsch
ist, bezeichnet man die QED als abelsche Eichtheorie. Damit ψ Elektronen als Teilchen und Positronen
als Antiteilchen beschreibt, muß q = −e = − 4πα gesetzt werden. Dabei ist α ≃ 1/137 die
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante.
Um eine eindeutige Lösung der Feldgleichungen zu erhalten, müssen wir wie schon im Fall freier Felder
(vgl. Abschnitt 6.4) die Eichung fixieren. Hierzu wählen wir die Coulomb-Eichbedingung
div ⃗ A = 0, (7.1.15)
die zwar nicht manifest Lorentz-kovariant ist, dafür aber auch im Falle wechselwirkender Felder eine
vollständige Eichfixierung gewährleistet, wie wir gleich sehen werden. Für das elektromagnetische Feld
ergeben sich dann wie für freie Felder die beiden dreidimensional transversalen Feldfreiheitsgrade
als die dynamischen Feldfreiheitsgrade, und folglich enthält die mittels der Modenentwicklung nach
ebenen Wellen im Wechselwirkungsbild quantisierte Theorie keine unphysikalischen Freiheitsgrade
mehr, denn es treten nur Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die dreidimensional transversalen
Feldfreiheitsgrade auf.
Das Feld A 0 , welches schon deshalb kein unabhängiger dynamischer Freiheitsgrad sein kann, weil wie
im Falle freier Felder der dazugehörige kanonische Feldimpuls identisch verschwindet, läßt sich aufgrund
der Feldgleichungen als Funktional des elektromagnetischen Stromes q j µ eliminieren. Es ergibt
sich als instantanes Coulombpotential aus der Ladungsdichteverteilung der Elektronen und Positronen.
Dies scheint der Einstein-Kausalität zu widersprechen, denn in einer relativistischen Feldtheorie
kann es keine sich instantan ausbreitenden Wirkungen geben. Wie wir aber unten zeigen werden, stellt
die Eichinvarianz der Theorie sicher, daß in der Tat beobachtbare Größen stets retardiert auf äußere
Störungen reagieren, wobei die Wirkungsausbreitung stets unterhalb der Lichtgeschwindigkeit bleibt.
Dabei heben sich die scheinbaren Effekte des instantanen Coulomb-Terms gegen andere unphysikalische
Terme aus der übrigen Wechselwirkung weg.
Ein Vorteil der Coulomb-Eichung (insbesondere in nichtrelativistischen Anwendungen auf Atome und
Moleküle mit vielen Elektronen oder in der Theorie des kondensierten Zustandes) ist andererseits die
Möglichkeit, zunächst das (über die naive Störungstheorie hinausgehende!) Problem des gebundenen
Zustandes mittels des Coulomb-Anteils des Hamiltonoperators näherungsweise zu lösen und dann das
dynamische Photonenfeld störungstheoretisch zu berücksichtigen. Dies führt dann einerseits zu Korrekturen
der gebundenen Zustände (z.B. die Lamb-Shift, die zur Aufhebung der Entartung bestimmter
Energieniveaus in Atomen führen und die zur Entwicklung der modernen Renormierungstheorie für
die QED Ende der 1940er Jahre durch Feynman, Schwinger, Tomonaga und Dyson geführt hat),
andererseits aber auch zu Größen wie der Intensitätsverteilung von Spektrallinien aus Strahlungsübergängen
des Atoms.
Um die Theorie zu quantisieren, leiten wir die Bewegungsgleichungen für das elektromagnetische Feld
her, indem wir die Wirkung
∫
S[A,ψ,ψ] = d 4 x (x) (7.1.16)
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