Quantentheorie II - FIAS

1.14 · Gemischte Zustände
Wir bemerken noch, daß für explizit zeitabhängige Operatoren O(t) := O[⃗x(t), ⃗p(t); t] die Bewegungsgleichung
(1.9.10) durch
O(t) = A(t)O[⃗x(0), ⃗p(0); t]A † (t) (1.13.33)
gelöst wird, wie man sofort durch Bilden der Zeitableitung und Berücksichtigung von (1.13.29) beweist
(Übung!).
1.14 Gemischte Zustände
Im Rahmen der Quantentheorie läßt sich ein System nicht genauer determinieren als es durch seine
Präparation in einem durch einen Zustandsvektor |ψ〉 repräsentierten Zustand möglich ist. Dies kann
z.B. dadurch geschehen, daß man ihn zur Zeit t = 0 in einem simultanen Eigenzustand eines vollständigen
Satzes kompatibler Observabler präpariert. Die physikalische Bedeutung dieser vollständigst
möglichen Festlegung des Systemzustandes ist allerdings allein durch den statistischen Gehalt des Zustandsvektors
gemäß der Bornschen Formel (1.1.2) gegeben. Selbst bei vollständiger Präparation des
Systems sind somit nicht die Werte aller Observabler festgelegt, sondern nur derjenigen Observablen,
die ihrerseits mit den Observablen des vollständigen Satzes kompatibler Observabler kompatibel sind.
Die Quantentheorie ist eine statistische Beschreibung der Realität, und die Notwendigkeit einer statistischen
Beschreibung rührt nicht von unserer mangelnden Kenntnis über den Systemzustand her,
sondern ist prinzipieller Natur: Der Quantentheorie zufolge können eben keine zwei nichtkompatiblen
Observablen simultan wohlbestimmte Werte besitzen. Die Unbestimmtheit der einen Observable
bei Festlegung der anderen ist also unvermeidlich.
In vielen Fällen werden wir aber noch nicht einmal volle Kenntnis vom Systemzustand besitzen, d.h.
wir haben i.a. das System gar nicht in einem durch einen Zustandsvektor ψ repräsentierten Zustand 8
präpariert. In solchen Fällen kann man aber immer noch „Quantenstatistik“ betreiben, d.h. eine Statistische
Beschreibung im gleichen Sinne wie in der klassischen Statistichen Mechanik vornehmen.
Diese statistische Beschreibung ist nun von der quantenmechanischen Statistik eines reinen Zustandes
qualitativ verschieden, denn es handelt sich um eine statistische Beschreibung aufgrund einer unvollständigen
Kenntnis des Systemzustandes, während die statistischen Eigenschaften des reinen Zustandes
prinzipiell nicht durch genauere Präparation des Systems beseitigt werden können.
Wenden wir uns also der Frage zu, wie man das System im Falle nicht vollständig vorgenommener Präparation
quantenstatistisch beschreiben kann. Eine typische Präparation dieser Art können wir uns
folgendermaaßen vorstellen: Nehmen wir an, wir könnten Teilchen in reinen Zuständen |ψ 1 〉, |ψ 2 〉,
...|ψ n 〉 präparieren, z.B. durch Festlegung der Werte eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler.
Diese Sätze von kompatiblen Observablen können dabei aber für jeden dieser reinen Zustände
durchaus unterschiedlich sein. Insbesondere können sie auch untereinander inkompatibel sein!
Jedem dieser reinen Zustände entspricht nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ein Ensemble
von voneinander unabhängig immer gleichartig präparierten Teilchen, wobei der reine Zustand
durch den jeweiligen Zustandsvektor ψ j ( j ∈ {1,2,..., n}) repräsentiert wird.
Wir können nun ein gemischtes Ensemble (kurz ein Gemisch) erzeugen, indem wir einem Experimentator
zufällig (und unkorrelliert) immer jeweils Teilchen von irgendeinem dieser reinen Zustände
schicken, und zwar mit der Wahrscheinlichkeit P j ≥ 0, ∑ n
j =1 P
j = 1, ein im reinen Zustand ψ j
präpariertes Teilchen. Welche statistischen Eigenschaften dieses Ensembles von Teilchen wird der Experimentator
dann messen?
8 Solche Zustände des Systems werden in diesem Zusammenhang auch genauer als reine Zustände bezeichnet.
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