Quantentheorie II - FIAS

6.3 · Das klassische elektromagnetische Feld
wenigstens die Exponenten in (6.3.35) kovariant zu machen, können wir dies auch in der Form
∫
⃗A(t, ⃗x) =
3
d 3⃗ k
(2π) 3 2ω( k) ⃗
2∑
⃗ε( k,α) ⃗ A α ( k)exp[−ik ⃗ x] + B α ( k)exp[+ik ⃗ x] k 0 =ω(| k|) ⃗
α=1
mit A α ( ⃗ k) = A 1,α ( ⃗ k), B α ( ⃗ k) = A 2,α (− ⃗ k)
(6.3.43)
schreiben.
Dabei sind die beiden linear unabhängigen Polarisationsvektoren durch die folgenden linearen Gleichungen
bestimmt und ansonsten frei wählbar
k µ ε µ α (k) = 0, n µ ε µ α (k) = 0. (6.3.44)
Da die A µ reelle Felder sind, muß bei reeller Wahl von ε µ noch gelten
B α ( ⃗ k) = A ∗ α (⃗ k). (6.3.45)
Die endgültige Form der Lösung der freien Maxwellgleichungen lautet somit also
∫
A µ (x) =
3
d 3⃗ k
(2π) 3 2ω( k) ⃗
2∑
ε µ α (k) A α ( k)exp(−ik ⃗ x) + A ∗ α (⃗ k)exp(+ik x) k 0 =+ω( k) ⃗ . (6.3.46)
α=1
Die spezifische Gestalt von A α ( ⃗ k) muß durch Anfangsbedingungen festgelegt werden. Wir werden jedoch
für die Quantenfeldtheorie lediglich diese allgemeine Lösungsform der freien Maxwellgleichungen
benötigen.
6.3.4 Lösung der Maxwellgleichungen bei vorgegebenen Quellen
Wenden wir uns nun der Lösung der Maxwellgleichungen bei vorgegebenen Ladungen und Strömen zu.
In Lorenz-Eichung haben wir lediglich die Wellengleichung (6.3.19) zu lösen. Wir gelangen zum Ziel,
wenn wir eine Greensche Funktion des d’Alembert-Operators finden können, d.h. eine Funktion
G, die
□ x G(x − x ′ ) = δ (4) (x − x ′ ) (6.3.47)
erfüllt. Dann wird (6.3.19) offenbar durch
∫
A µ (x) = d 4 x ′ G(x − x ′ ) j µ (x ′ ) (6.3.48)
gelöst. Daß wir die Greensche Funktion in der spezifischen Gestalt als Funktion von x − x ′ ansetzen
können, ergibt sich daraus, daß die rechte Seite von (6.3.47) lediglich von dieser Koordinatendifferenz
abhängt. Wir suchen ohnehin nur eine partikuläre Lösung der Gleichung. Die Greensche Funktion
selbst ist freilich nur bis auf eine Funktion, die die quellenfreie Wellengleichung erfüllt, bestimmt.
Hier wollen wir die retardierte Greensche Funktion aufsuchen, die der physikalischen Situation entspricht,
daß zu einer bestimmten Zeit t 0 irgendwelche Quellen „eingeschaltet“ werden. Die Kausalitätsbedingung
der Physik verlangt dann, daß A µ (genauer gesagt die eichinvarianten Feldkomponenten
F µν !) retardierte Funktionale der Quellen sein müssen, d.h. A µ (t, ⃗x) kann nur von den Quellen zu
früheren Zeiten t ′ < t abhängen. Dies wird durch den Ansatz
G(x − x ′ ) = Θ(t − t ′ )g(x − x ′ ) (6.3.49)
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