Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
Dies läßt sich leicht nach den gesuchten Parametern auflösen (Übung!), so daß sich schließlich
Γ −1 ( ⃗w,α, ⃗a, ˆR) = Γ (− ˆR −1 ⃗w,−α,− ˆR −1 (⃗a + ⃗wα), D −1 ) (2.1.16)
ergibt.
Wir können im folgenden die einzelnen Untergruppen der volle Galileigruppe getrennt behandeln, wie
bereits oben geschehen, denn sie ergab sich ja durch Zusammensetzung aus Galileiboosts, raum-zeitlichen
Translationen und räumlichen Drehungen. In der obigen Konvention gilt
Γ ( ⃗w,α, ⃗a, ˆR) = T (α, ⃗a)B( ⃗w) ˆR (2.1.17)
Es ergibt sich eine erhebliche Vereinfachung der Analyse von solchen kontinuierlichen Symmetrien,
wenn man zunächst infinitesimale Transformationen betrachtet, also solche Transformationen für
sehr kleine Abweichungen vom Gruppeneinheitselement. Im vorliegenden Fall der Galileigruppe wird
dies dadurch erleichtert, daß die Transformationen offensichtlich differenzierbar nach den Parametern
⃗w, α, ⃗a und ⃗ φ in der Parametrisierung der Drehmatrix D gemäß (2.1.8). Solche Gruppen nennt man
Lie-Gruppen 1 .
Während sich für die Translationen und Boosts zunächst keine erhebliche Vereinfachung zu ergeben
scheint, führt eine Entwicklung von cos und sin in (2.1.8) nach einem infinitesimalen Drehwinkel δφ
zu
⃗x ′ = ⃗x + δ ⃗x = ⃗n(⃗n · ⃗x) + (⃗n × ⃗x) × ⃗n − δφ ⃗n × ⃗x = ⃗x − δ ⃗ φ × ⃗x + (δφ 2 ). (2.1.18)
Für die infinitesimale Änderung des Ortsvektors aufgrund der infinitesimalen Drehung ergibt sich also
δ ⃗x = −δ ⃗ φ × ⃗x + (δφ 2 ). (2.1.19)
Man rechnet auch leicht nach (Übung!), daß die Hintereinanderausführung zweier solcher infinitesimaler
Drehungen sich zu
ˆR(δφ ⃗ 2 ) ˆR(δφ ⃗ 1 )⃗x = ⃗x − (δφ ⃗ 1 + δφ ⃗ 2 ) × ⃗x + (δφ 2 1 ,δφ2 2
). (2.1.20)
ergibt.
Man kann nun die infinitesimalen Transformationen offenbar wieder als Matrizen schreiben. Für die
Komponenten des Vektors ergibt sich aufgrund der Definition des Vektorprodukts ja
Definieren wir nun drei Matrizen J j durch 2
δ ⃗x = −δ ⃗ φ × ⃗x = ⃗e i (−ε i j k δφ j )x k . (2.1.21)
i(J j ) i k := −ε i j k , (2.1.22)
können wir für (2.1.21) auch
δ ⃗x = iδφ j (J j ) i k x k =: i(δ ⃗ φ · ⃗J)⃗x (2.1.23)
schreiben. Die infinitesimalen Matrizen δ ⃗ φ·⃗J bilden nun offenbar einen Vektorraum, wobei die Hintereinanderausführung
zweier infinitesimaler Drehungen sich gemäß (2.1.20) als die Summe der entsprechenden
Matrizen ergibt. In diesem Sinne bilden die drei durch (2.1.22) definierten Matrizen J j
eine Basis für die infinitesimalen Drehungen.
1 Sophus Lie (1842-1899), norwegischer Mathematiker
2 Die Vorzeichenwahl der J j
ist willkürlich. Wir wählen die Bezeichnungen dieser infinitesimalen Generatoren sowie die
Vorzeichen bereits hier so, wie es später auch in der Quantentheorie der üblichen Konvention entspricht.
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