Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
zu lösen. Sie kann nun nicht wie eine Differentialgleichung mit gewöhnlichen Funktionen behandelt
werden, da Y(t) und C(t) i.a. nicht notwendig kommutieren müssen. Ebensowenig müssen die Operatoren
Y(t) und Y(t ′ ) zu verschiedenen Zeiten kommutieren!
Falls allerdings Y = const ist, gilt offenbar
C(t) = exp − it
ħh Y
falls Y = const, (1.13.14)
wie man sofort durch Differenzieren bestätigt.
Um wenigstens eine formale Lösung bei zeitabhängigem Y zu erhalten, formen wir (1.13.12) zu einer
Integralgleichung um, indem wir sie unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung von t ′ = 0 bis
t ′ = t integrieren. Dies liefert
C(t) = 1 − i ħh
∫ t
0
dt ′ Y(t ′ )C(t ′ ). (1.13.15)
Dies ist eine Rekursionsgleichung, die wir iterativ lösen können. Setzen wir als Anfangsnäherung für
die Lösung C 0 = 1, welche wenigstens die Anfangsbedingung erfüllt, auf der rechten Seite von (1.13.15)
ein, und sehen das Resultat als eine verbesserter Näherung von C an, erhalten wir
C 1 (t) = 1 − i ħh
∫ t
0
dt 1 Y(t 1 ). (1.13.16)
Diese Näherung setzen wir wieder in (1.13.15) ein, um die nächste Näherung zu erhalten:
C 2 (t) = 1 − i ħh
∫ t
0
dt 1 Y(t 1 ) + − i 2
∫ t
dt
ħh 2 Y(t 2 )
0
∫ t2
0
dt 1 Y(t 1 ). (1.13.17)
Diese Iteration können wir nun offenbar beliebig fortführen. Wir erhalten dann
C(t) = 1 +
n=1
∫ t2
∞∑
− i n
∫ t ∫ tn
dt
ħh
n dt n−1 ··· dt 1 Y(t n )Y(t n−1 )··· Y(t 1 ).
0 0
0
} {{ }
C (k) (t)
(1.13.18)
Es auch einfach zu zeigen, daß diese iterative Lösung (wenigstens formal) die Gleichung (1.13.12) löst
(Übung!). Offensichtlich geht auch (1.13.18) für zeitunabhängiges Y = const in (1.13.14) über.
Wir können (1.13.18) noch etwas vereinfachen, indem wir die komplizierte „Schachtelstruktur“ der
oberen Grenzen in den Zeitintegralen auflösen. Dabei ist Vorsicht geboten, weil i.a. Y(t) und Y(t ′ )
für t ≠ t ′ nicht kommutieren. Es ist allerdings charakteristisch, daß die Operatoren in dem Produkt
unter dem Integral stets zeitgeordnet sind, d.h. die Zeitargumente sind von rechts nach links gelesen
monoton wachsend. Dies werden wir uns sogleich zunutze machen.
Betrachten wir zunächst das Doppelintegral in (1.13.17).
∫ t
C (2) (t) =
0
∫ t2
dt 2 dt 1 Y(t 2 )Y(t 1 ). (1.13.19)
Dies können wir als Flächenintegral in der t 1 -t 2 -Ebene lesen, das über das schraffierte Dreieck in Abb. 1.2
zu nehmen ist. Wir wollen nun die Integration in den Variablen t 1 und t 2 symmetrisieren. Dazu ver-
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