Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
Dieses Integral läßt sich geschlossen auswerten (vgl. Anhang A):
4πσ 2 3/2
ħh
m⃗x 2
ψ(t, ⃗x) = AN 0 exp −
. (1.10.23)
ħh(t − t 0 ) − 2imσ 2 4mσ 2 + 2iħh(t − t 0 )
Damit dies für t → t 0 mit der Anfangsbedingung (1.10.21) kompatibel ist, muß offenbar
m
N 0 =
2πiħh
3/2
(1.10.24)
sein. Demnach erfüllt N(t) gemäß (1.10.19) offenbar tatsächlich unsere obige Annahme (1.10.18) Der
Propagator für das freie Teilchen ist damit also durch
gegeben.
m
U (t, ⃗x; t 0 , ⃗x 0 ) =
2πiħh(t − t 0 )
3/2
exp
im
2(t − t 0 )ħh (⃗x − ⃗x 0 )2
(1.10.25)
1.11 Der Propagator als Green-Funktion der Schrödingergleichung
Wir diskutieren noch ein Weilchen über Propagatoren bzw. Greensche Funktionen der Schrödingergleichung.
Der Propagator für ein quantenmechanisches System wird besonders einfach, wenn man
nicht wie oben die Ortsdarstellung sondern die Energieeigenzustände als Basissystem wählt. Wir
schreiben die Zeitentwicklung wieder im Heisenbergbild und leiten zunächst die Zeitentwicklunggleichung
der Eigenzustände von nicht explizit zeitabhängigen Operatoren her. Sei also A(t) der selbstadjungierte
Operator einer Observablen A im Heisenbergbild. Dann gilt wegen (1.9.10) und (1.10.1)
d
dt A(t) = 1 [A(t),H]. (1.11.1)
iħh
Wir gehen auch von einem nicht explizit zeitabhängigen Hamiltonoperator aus. Setzen wir in (1.11.1)
A = H ein, sehen wir, daß der Hamiltonoperator dann zeitlich konstant ist, so daß wir das Zeitargument
für diesen gleich weggelassen haben. Dann können wir aber die Lösung der Differentialgleichung
(1.11.1) sofort angeben:
Setzen wir
iħh(t − t0 )H
A(t) = exp
A(t
ħh
0 )exp − iħh(t − t 0 )H
. (1.11.2)
ħh
so ist offenbar B(t, t 0 ) unitär, und wir können für (1.11.2) auch
iħh(t − t0 )H
B(t, t 0 ) = exp
, (1.11.3)
ħh
A(t) = B(t, t 0 )A(t 0 )B † (t, t 0 ) (1.11.4)
schreiben, was mit (1.9.1) übereinstimmt, wenn wir annehmen, daß zur Zeit t 0 im Schrödinger- und
Heisenbergbild dieselben Operatoren verwendet werden, was wir stets tun dürfen. Dabei bezeichnet
t 0 wieder den Anfangszeitpunkt, zu dem wir uns das System in irgendeinem Zustand |ψ〉 präpariert
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