Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
Dabei haben wir von der Definition der kanonisch konugierten Impulse (2.2.8) Gebrauch gemacht. Ein
Vergleich der Differentiale ergibt
˙⃗x = ∂ H
∂ ⃗p ,
∂ L
∂ ⃗x = −∂ H
∂ ⃗x . (2.2.13)
Die erste Gleichung ist identisch mit der ersten Hamiltonschen Gleichung in (2.2.11). Gelten dann
für die Trajektorie die Lagrangegleichungen folgt zusammen mit (2.2.8) auch die zweite Hamiltonsche
Gleichung.
Der Vorteil der Hamiltonschen Formulierung liegt im Zusammenhang mit den Symmetriebetrachtungen
und schließlich der Analogie zur Quantentheorie in folgender Beobachtung. Betrachten wir eine
beliebige Funktion f : Ω → , wobei Ω den durch (⃗x, ⃗p) parametrisierten sechsdimensionalen Phasenraum
bezeichnet, so folgt für Trajektorien, die den Hamiltonschen kanonischen Gleichungen genügen,
d
dt
∂ f
f (⃗x, ⃗p) =
∂ ⃗x · ˙⃗x + ∂ f (2.2.11)
· ˙⃗p = ∂ f
∂ ⃗p ∂ ⃗x · ∂ H
∂ ⃗p − ∂ f
∂ ⃗p · ∂ H
∂ ⃗x =: { f , H} pb . (2.2.14)
Dabei definieren wir die Poisson-Klammer für zwei beliebige Phasenraumfunktionen f , g : Ω →
durch
{ f , g} pb
= ∂ f
∂ ⃗x · ∂ g
∂ ⃗p − ∂ f
∂ ⃗p · ∂ g
∂ ⃗x . (2.2.15)
Es ist nun entscheidend, daß die Phasenraumfunktionen mit der Poisson-Klammer eine Lie-Algebra
bilden. Es ist offensichtlich, daß die Poisson-Klammer linear in beiden Argumenten ist und daß sie
antisymmetrisch ist, d.h. daß
{ f , g} pb
= −{g, f } pb
(2.2.16)
gilt. Auch der Nachweis der Jacobiidentität
{ f , g}pb , h pb + {g, h} pb
, f pb + {h, f } pb
, g pb = 0 (2.2.17)
ist durch Nachrechnen unter Verwendung der Definition (2.2.15) zu führen, wenngleich dies mit etwas
Schreibarbeit verbunden ist (Übung!).
2.3 Kanonische Transformationen
Die kanonischen Transformationen sind umkehrbar eindeutige Funktionen × Ω → Ω
⃗x = ⃗x(t, ⃗ X , ⃗ P), ⃗p = ⃗p(t, ⃗ X , ⃗ P), (2.3.1)
die die Eigenschaft haben, daß sie die Sturktur der Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (2.2.13) invariant
lassen. Um diese Eigenschaft genauer zu charakterisieren und die Form des Hamilton-Operators
in den neuen Koordinaten H ′ (t, ⃗ X , ⃗ P) zu erhalten, ist es am bequemsten, die Invarianz der Variation
der Wirkung zu verlangen. Dazu muß in
I [ ⃗ X , ⃗ P] − I [⃗x, ⃗p] =
∫ t2
t 1
dt
˙⃗X · ⃗ P − H ′ (t, ⃗ X , ⃗ P) − ˙⃗x · ⃗p + H(t, ⃗x, ⃗p)
64
(2.3.2)