Quantentheorie II - FIAS

7.4 · Beispiele für QED-Wirkungsquerschnitte
Die kinematischen Beziehungen (7.4.14-7.4.20) vereinfachen sich wegen m 1 = m 2 = m
1 ′ = m′ 2 = m zu
ϑ ϑ
s = 4E 2 , t = −4P 2 sin 2 , u = −4P 2 cos 2 . (7.4.41)
2
2
Der differentielle Streuquerschnitt im Schwerpunktssystem ergibt sich daraus mit der allgemeinen Formel
(7.4.7) zu
dσ
dΩ = | f i |2
256π 2 E = α2 (2E 2 − m 2 ) 2
4
2 4E 2 (E 2 − m 2 ) 2 sin 4 ϑ − 3
sin 2 ϑ + (E 2 − m 2 ) 2 4
(2E 2 − m 2 ) 2 sin 2 ϑ + 1 . (7.4.42)
Betrachten wir noch den ultrarelativistischen und den nichtrelativistischen Limes E ≫ m bzw. P 2 =
E 2 − m 2 ≪ m 2 . Das ergibt
dσ
,
dΩ
dσ
dΩ
α ∼=
2
E≫m
∼=
P≪m
4
E 2 sin 4 ϑ − 2
sin 2 ϑ + 1 4
α 2 m 2 4
4P 4 sin 4 ϑ − 3
sin 2 ϑ + (P 2 /m 2 )
.
(7.4.43)
Der nichtrelativistische Limes stimmt mit unserem Ergebnis aus der nichtrelativistischen Streutheorie
(5.1.98) überein, wie man nach einiger Rechnung mit den Winkelfunktionen zeigt und bedenkt, daß in
der nichtrelativistischen Formel E cm = P 2 /(2m) bedeutet.
Wir sehen, daß dieser Ausdruck für P → 0 sowie für alle Schwerpunktsenergien für ϑ → 0,π divergiert.
Ebenso divergiert der totale Streuquerchnitt. Dies rührt daher, daß die Photonen masselos sind, denn
es ist gemäß (7.4.19) und (7.4.12)
t = −2P 2 (1 − cosϑ), u = −P 2 (1 + cosϑ), (7.4.44)
und dies sind gerade die im Nenner des Photonpropagators auftretenden kinematischen Größen. Diese
Infrarotdivergenzen lassen sich beseitigen, indem man die endliche Energieauflösung des Detektors
berücksichtigt und bedenkt, daß aufgrund ihrer Masselosigkeit beliebig viele sehr weiche Photonen
emittiert werden können, deren Gesamtenergie kleiner als die Energieauflösung des Detektors ist.
Summiert man all diese Beiträge auf, erhält man ein endliches von der Energieauflösung des Detektors
abhängiges Resultat für den totalen Streuquerschnitt [BN37, Wei95, PS95]. Von dem divergenten kinematischen
Bereich für ϑ → 0,π abgesehen, stimmt die Møllersche Formel (7.4.42) hervorragend mit
dem gemessenen differentiellen Streuquerschnitt überein.
7.4.4 Bhabha-Streuung
Unter Bhabba-Streuung versteht man die elastische Elektron-Positronstreuung, also den Prozeß e + +
e − → e + + e − . Die beiden Diagramme besitzen wieder ein relatives Vorzeichen, weil das zweite Diagramm
aus dem ersten durch Vertauschen der einlaufenden Elektronenlinie mit der auslaufenden Positronenlinie
hervorgeht, also zwei Fermionenerzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren vertauscht
werden. Wir haben also
i 1 = i e2
t u 1 ′γ µ u 1 v 2 γ µ v 2 ′,
i 2 = −i e2
s u 1 ′γ µ v 2 ′v 2 γ µ u 1 . (7.4.45)
Dabei haben wir zur Abkürzung u 1 = u(⃗p 1 ,σ 1 ) usw. geschrieben. Das Betragsquadrat ist demnach
| f i | 2 = | 1 | 2 + | 2 | 2 + ∗ 1 2 + 1 ∗ 2 . (7.4.46)
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