Quantentheorie II - FIAS

1.10 · Das Heisenbergbild
H ′ (t) miteinander verknüpft, d.h. hat man einen der beiden Operatoren willkürlich gewählt, ist der
andere ebenfalls gewählt.
Man kann in der Tat leicht zeigen, daß die Annahme der Bewegungsgleichungen (1.9.5) und (1.9.10)
auf eine bildunabhängige Dynamik der relevanten Größen führt. So gilt
d
O
′ d
=
dt
ψ ′ dt ψ′ O ′ ψ ′ + ψ ′ dO ′
dt ψ′ + ψ ′ O ′ d
dt ψ′ . (1.9.12)
Setzen wir nun (1.9.5) und (1.9.10) in diese Gleichungen ein, finden wir die bildunabhängige Gleichung
d
dt
O
′ ψ ′ =
˚O′ ψ ′ mit ˚O′ :=
1
iħh
O ′ ,H ′ + ∂ expl.
t O ′ . (1.9.13)
Dies ist das Ehrenfestsche Theorem in bildunabhängiger Schreibweise. Dabei ist zu beachten, daß
der Ring über einem Operator i.a. nicht die mathematische Zeitableitung desselben bedeutet, sondern
durch die Kommutatorrelation ergänzt durch die Ableitung aufgrund der expliziten Zeitabhängigkeit
definiert ist. Dies ist die sog. physikalische Zeitableitung der Quantentheorie, die man als unter
Bildtransformationen kovariante Zeitableitung betrachten kann. Damit haben wir auch Postulat
4 erklärt. Die Postulate sind damit sowohl unabhängig von einer konkreten Darstellung, also der
Wahl eines bestimmten vollständigen Satzes kompatibler Observabler zur vollständigen Festlegung des
Systemzustandes, als auch unabhängig von der Wahl des Bildes der Zeitentwicklung, also der Wahl
der Verteilung der Zeitabhängigkeit auf Zustandsvektoren und Observablenoperatoren.
1.10 Das Heisenbergbild
Als eine Anwendung der bild- und darstellungsunabhängigen Formulierung der quantentheoretischen
Dynamik betrachten wir die Herleitung der dynamischen Gleichungen im Heisenbergbild. Dieses Bild
ist in gewissem Sinne das genaue Gegenstück zum Schrödingerbild. Die volle Zeitabhängigkeit wird
dabei auf die Observablenoperatoren gewälzt. Das bedeutet, daß wir gemäß (1.9.5) und (1.9.10)
X H = H und Y H = 0 (1.10.1)
zu setzen haben. Explizit heißt das, daß die kovariante Zeitableitung identisch ist mit der totalen Zeitableitung
und die Zustandsvektoren überhaupt nicht zeitabhängig sind.
Zeitentwicklung in der Energieeigenbasis
In diesem Bild läßt sich auch sehr einfach der bildunabhängige Zeitentwicklungsoperator für die Wellenfunktion
in der Ortsdarstellung, also der Propagator der Schrödingergleichung bei gegebenem
Hamiltonoperator, gewinnen. Es gilt wie in jedem Bild
∫
ψ(t, ⃗x) = 〈⃗x, t |ψ〉 = d 3 x ′ ⃗x, t ⃗x ′
, t 0 ψ(t0 , ⃗x ′ ). (1.10.2)
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Dabei bedeutet |⃗x, t〉 zu jeder Zeit t den verallgemeinerten simultanen Eigenzustand der drei Ortskomponentenoperatoren
zum Spektralwert ⃗x ∈ 3 , d.h. es gilt für alle t > t 0
⃗x(t)|⃗x, t〉 = ⃗x |⃗x, t〉. (1.10.3)
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