Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
die Kontinuitätgleichun ∂ µ J µνρ = 0, und da Θ µν eichinvariant ist, trifft dies auch für diesen Tensor zu.
Für µ = 0 ergeben sich die erhaltenen Größen durch Integration über ⃗x. Die rein räumlichen Komponenten
sind ein antisymmetrischer Dreiertensor zweiter Stufe, der mit Hilfe des dreidimensionalen
Levi-Civita-Symbols ε ab c auf den Drehimpulsvektor abgebildet werden kann, der im Sinne der Hamiltonschen
Formulierung der Feldtheorie (und, wie gleich sehen werden, damit auch in der kanonische
quantisierten Version!) die Drehungen erzeugt. Die zeit-räumlichen Komponenten ergeben die entsprechenden
drei Erzeugenden für Boosts:
J a = 1 2
∫ εab c d 3 ⃗x J 0b c , (6.3.99)
∫
3
K a = d 3 ⃗x J 0a0 . (6.3.100)
3
In dreidimensionaler Vektorschreibweise gilt dann (Übung)
∫
⃗J = d 3 ⃗x (⃗x × S), ⃗ (6.3.101)
∫
3
⃗K = d 3 ⃗x ε⃗x − t S ⃗ . (6.3.102)
3
In vierdimensional kovarianter Schreibweise ergibt sich daraus der zeitlich erhaltene antisymmetrische
Boost-Dreh-Tensor
∫
J µν = d 3 ⃗x J 0µν . (6.3.103)
3
6.4 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Bei der kanonischen Quantisierung des elektromagnetischen Feldes gehen wir im Prinzip genauso vor
wie in Abschnitt 4.3.5 bei der Quantisierung des Pauli-Spinorfeldes. Allerdings ergeben sich aufgrund
der Eichinvarianz der Elektrodynamik charakteristische Schwierigkeiten bei der kanonischen Quantisierung.
Das wird schon aus der Tatsache verständlich, daß wir ja das elektromagnetische Feld mit
den vier Komponenten eines Vektorfeldes beschreiben, wobei aber Felder, die sich nur um den Vierergradienten
eines Viererskalarfeldes unterscheiden, dieselbe physikalische Situation beschreiben. Bei
der Lösung der ladungs- und stromfreien Maxwell-Gleichungen haben wir gesehen, daß von den vier
Feldfreiheitsgraden nur zwei physikalische Bedeutung besitzen. In der oben besprochenen Strahlungseichung
sind dies die beiden voneinander unabhängigen Komponenten des Dreiervektors ⃗ A, der die
Nebenbedingung ⃗ ∇ · ⃗A = 0 (Transversalitätsbdingung) erfüllt.
Formal äußert sich die Überzähligkeit von wenigstens einer Feldkomponente darin, daß der kanonische
Feldimpuls zu A µ Π µ = ∂
∂ (∂ 0 A µ ) = F 0 µ (6.4.1)
ergibt. Es ist also Π 0 = 0, so daß wir ∂ 0 A 0 in der Hamiltondichte
= Π µ A µ − (6.4.2)
nicht durch die kanonischen Impulse ausdrücken können. Der Grund dafür ist, wie oben bereits vermutet,
die Eichinvarianz und die Redunandanz zweier Feldfreiheitsgrade.
194