Quantentheorie II - FIAS

6.3 · Das klassische elektromagnetische Feld
Wir müssen weiter noch die Eichinvarianz des Wirkungsfunktionals überprüfen 6 . Das freie Funktional
S 0 ist eichinvariant, denn es hängt nur vom eichinvarianten Feldstärketensor F µν ab. Der Wechselwirkungsterm
(6.3.72) verlangt allerdings eine gesonderte Untersuchung, denn hier tritt das Vektorpotential
selbst auf. Führen wir also eine Eichtransformation (6.3.20) durch, wobei die äußeren Quellen
ungeändert bleiben. Nun ist
∫
∫
S int [A ′ µ ] = − d 4 x A ′ µ j µ = −
d 4 x A µ + ∂ µ χ ∫
j µ = −
Dies stimmt für beliebige χ nur dann mit S int [A µ ] überein, wenn
d 4 x A µ j µ − χ ∂ µ j µ . (6.3.75)
∂ µ j µ = 0, (6.3.76)
also j µ ein erhaltener Strom ist. Dies haben wir ja bereits oben mehrfach festgestellt: Die Maxwellgleichungen
sind nur konsistent, wenn der elektromagnetische Viererstrom die Kontinuitätsgleichung
(6.3.76) erfüllt.
6.3.6 Anwendung des Noether-Theorems auf die Elektrodynamik
Nun können wir die feldtheoretische Version des Noether-Theorems, wie in Abschnitt 4.3.6 dargestellt,
auf die Elektrodynamik anwenden.
Definieren wir den kanonischen Energie-Impuls-Tensor des freien elektromagnetischen Feldes gemäß
(4.3.86), wobei wir wir hierbei über sämtliche Feldfreiheitsgrade zu summieren haben summieren (in
unserem Falle also über die vier Vektorkomponenten A µ ), erhalten wir unter Anwendung der Einsteinschen
Summationskonvention
Θ µν
can = ∂ 0
∂ (∂ µ A ρ ) ∂ ν A ρ − 0 g µν = F ρ µ ∂ ν A ρ + 1 4 g µν F ρσ F ρσ . (6.3.77)
Dieser Ausdruck ist allerdings nicht eichinvariant und besitzt daher a priori keine physikalisch eindeutige
Interpretation. Andererseits definiert dieser Tensor wegen der Translationsinvarianz in Raum
und Zeit, die aufgrund der Diskussion im Anschluß an Gl. (4.3.98) gewährleistet ist, wenn die Lagrangedichte
nicht explizit von den Raum-Zeit-Koordinaten abhängt, die Erhaltungsgrößen Energie und
Impuls
∫
P ν (t) = d 3 ⃗x Θcan 0ν (x). (6.3.78)
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Dies ist ein zeitunabhängiger Vektor, weil die lokale Form des Erhaltungssatzes
∂ µ Θ µν
can = 0 (6.3.79)
gilt, wie man auch direkt aus der Definition (6.3.77) des kanonischen Energie-Impuls-Tensors unter Berücksichtigung
der Maxwellgleichungen (6.3.71) nachweist (Übung!). Wegen seiner Eichabhängigkeit
können aber die Komponenten Θcan 0ν nicht ohne weiteres als Energie- oder Impulsdichte des elektromagnetischen
Feldes interpretiert werden.
Nun bleiben aber alle Folgerungen ungeändert, wenn wir einen neuen Energie-Impuls-Tensor der Form
Θ µν = Θ µν
can + ∂ ρ ω ρµν (6.3.80)
6 Um eichinvariante Gleichungen zu erhalten, genügt es streng genommen, daß die Variation der Wirkung eichinvariant
ist. Daß das Wirkungsfunktional selbst eichinvariant ist, ist dafür zwar hinreichend aber nicht notwendig.
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