Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
erreicht. Wie wir gleich sehen werden, bestimmt dies g eindeutig.
Um G zu bestimmen, setzen wir z = x − x ′ und schreiben
Aus (6.3.47) folgt dann
∫
G(z) =
Außer bei z 0 = 0 besitzt die Gleichung die Lösung
d 3⃗ k
(2π) 3 ˜G(z 0 , ⃗ k)exp(i ⃗ k · ⃗z). (6.3.50)
∂
2
∂ (z 0 ) 2 + ⃗ k 2
˜G(z 0 , ⃗ k) = δ(z 0 ). (6.3.51)
˜G(z 0 , ⃗ k) = Aexp[−iω( ⃗ k)z 0 ] + B exp[+iω( ⃗ k)z 0 ], (6.3.52)
wobei A und B für z 0 < 0 und z 0 > 0 jeweils unabhängig zu bestimmende Konstanten sind. Wegen des
Ansatzes (6.3.49) ist A = B = 0 für z 0 < 0. Wir dürfen weiter annehmen, daß ˜G(z 0 , ⃗ k) als Funktion von
z 0 bei z 0 = 0 stetig ist. Durch Integration von (6.3.51) bzgl. z 0 über ein sehr kleines Intervall (−ε,ε)
ergibt sich daraus die Sprungbedingung für die Ableitung:
Dies in (6.3.52) eingesetzt ergibt
∂
∂ z 0 ˜G(0 + , ⃗ k) − ∂
∂ z 0 ˜G(0 − , ⃗ k) = 1. (6.3.53)
A+ B = 0, −i(A− B)ω( ⃗ k) = 1, (6.3.54)
d.h.
Es ist also
∫
G(z) = iΘ(z 0 )
A = −B =
i
2ω( k) ⃗ . (6.3.55)
d 3⃗ k
exp[ik ⃗ ⃗z − iω( k)z ⃗ 0
(2π) 3 2ω( k) ⃗ ] − exp[ik ⃗ ⃗z + iω( k)z ⃗ 0 ] . (6.3.56)
Dieses Integral existiert freilich nicht im üblichen Sinne und ist als Distribution aufzufassen, wie es für
eine Greensche Funktion i.a. auch zu erwarten ist. Die Distribution läßt sich in geschlossener Form
ermitteln. Dazu wählen wir für die ⃗ k-Integration ein Kugelkoordinatensystem (K,ϑ,ϕ) mit der Polarrichtung
in Richtung von ⃗z und führen einen regulierenden Faktor exp(−εK) mit ε > 0 ein. Dann ist
g(z) =
i ∫ ∞ ∫ 1
dKK du exp(−εK)[exp(iK z u − iK z 0 ) − exp(iK z u + iK z 0 )], (6.3.57)
8π 2 −1
0
wobei wir K := | k| ⃗ = ω( k) ⃗ benutzt, u = cosϑ gesetzt und die triviale Integration über ϕ ausgeführt
haben. Bei endlichem Regulator ε > 0 ist
g(z) = 1
ε
4π 2 z ε 2 + (z 0 − z) − ε
. (6.3.58)
2 ε 2 + (z 0 + z) 2
Für ε → 0 + ergibt sich
g(z) = 1
4πz [δ(z 0 − z) − δ(z 0 + z)]. (6.3.59)
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