Quantentheorie II - FIAS

6.3 · Das klassische elektromagnetische Feld
Es ist also
oder kovariant geschrieben
G(z) = 1
4πz δ(z 0 − z) (6.3.60)
G(z) = 1
2π Θ(z 0 )δ(z µ zµ ). (6.3.61)
Wir bemerken, daß (6.3.61) bzgl. eigentlich orthochroner Lorentztransformationen ein Skalar ist. Dies
kann man auch bereits an (6.3.56) sehen, denn wir können diese Gleichung auch in der kovarianten
Form
∫
G(z) = iΘ(z 0 d 4 k
) =
4 (2π) 4 Θ(k0 )2πδ(k · k)[exp(−ik · z) − exp(+ik · z)] (6.3.62)
schreiben. Dabei haben wir die Identität
Θ(k 0 )δ(k · k) = δ[(k 0 ) 2 − ⃗ k 2 ] = 1
2k 0
δ(k 0 − | ⃗ k|) (6.3.63)
verwendet.
Setzen wir nun (6.3.60) in (6.3.48) ein, ergibt sich schließlich die gesuchte Lösung der Maxwellgleichungen
bei vorgegebenen Ladungs- und Stromverteilungen:
∫
A µ (t, ⃗x) = d 3 ⃗x ′ j µ (t − |⃗x − ⃗x ′ |, ⃗x ′ )
, (6.3.64)
3 4π|⃗x − ⃗x ′ |
wobei charakteristischerweise die Quellen zu dem zum betrachteten Aufpunkt ⃗x gehörigen retardierten
Zeitpunkt
t ret = t − |⃗x − ⃗x ′ | (6.3.65)
zu nehmen sind, zeitliche Änderungen des elektromagnetischen Feldes aufgrund sich zeitlich ändernder
Quellen also mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Daher wird die hier betrachtete Greensche Funktion
genauer auch als retardierte Greensche Funktion und die Potentiale (6.3.64) als die retardierten
Potentiale bezeichnet. Wir werden später noch mit andersartigen Greenschen Funktionen zu tun haben,
die sich von der retardierten durch eine Lösung der homogenen Wellengleichung unterscheiden.
Wir müssen schließlich noch die innere Konsistenz unserer Herleitung sicherstellen, indem wir nachweisen,
daß die Lorenzeichbedingung (6.3.32) erfüllt ist. Dazu schreiben wir (6.3.64) in der unintegrierten
Form
∫
∫
∂ µ A µ (x) = d 4 x ′ ∂
∂ x µ G(x − x′ ) j µ (x ′ ) = − d 4 x ′ j µ (x ′ ∂
)
∂ x ′ µ G(x − x′ )
∫
= + d 4 x ′ G(x − x ′ ) ∂ j µ (x ′ (6.3.66)
)
∂ x ′ µ = 0.
Im letzten Schritt haben wir die für die Lösbarkeit der Maxwellgleichungen notwendige Kontinuitätsgleichung
(6.3.31), die dem Gesetz von der Erhaltung der elektrischen Ladung entspricht, verwendet.
Hieraus wird bereits der enge Zusammenhang der Kontinuitätsgleichung für den Strom und der Eichinvarianz
deutlich. Wir werden im nächsten Abschnitt diesen Zusammenhang aus Sicht des Noetherschen
Theorems noch genauer ausarbeiten.
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