Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
4.3.4 Formulierung als Quantenfeldtheorie
Wir können nun am Beispiel nichtwechselwirkender Teilchen zeigen, daß die Vernichtungsoperatoren
ψ(ξ ) der Schrödingergleichung genügen. Die obige Formulierung unserer Fockraumtheorie haben wir
im Schrödingerbild vorgenommen. Deshalb sind die Operatoren ψ(ξ ) nicht zeitabhängig. Wir können
aber den Operator berechnen, der gemäß unserem Postulat 4 (vgl. Abschnitt 1.1) die Zeitableitung
des Feldoperators repräsentiert:
˚ψ(ξ ) =
1
i
(Fock)
ψ(ξ ),H
1 . (4.3.26)
Zur Berechnung des Kommutators benötigen wir dazu für Bosonen und Fermionen etwas unterschiedliche
Formeln. Durch Ausmutliplizieren erhalten wir für drei Operatoren A, B und C die Gleichungen
[A, BC] = [A, B]C + B [A,C], (4.3.27)
{A, BC} = {A, B}C − B {A,C}. (4.3.28)
Offenbar müssen wir in (4.3.26) für den Hamiltonoperator (4.3.22) einsetzen 1 . Wir können dabei das
Integral aus dem Kommutator herausziehen. Dann entsteht der Kommutator
ψ(ξ ),ψ † (ξ ′ )Ĥξ ′ψ(ξ ′ ) = ψ(ξ ),ψ † (ξ ′ ) Ĥ
∓ ξ ′ψ(ξ ′ ) ± ψ † (ξ ′ ) ψ(ξ ), Ĥξ ′ψ(ξ ′ ) ∓
} {{ }
(4.3.29)
(4.2.12)
= δ(ξ − ξ ′ )Ĥξ ′ψ(ξ ′ )
Ĥ ξ ′ [ψ(ξ ),ψ(ξ ′ )] ∓
wobei wir mit Ĥ den Einteilchenhamiltonoperator in der Ortsdarstellung bezeichnet haben, der klar
vom entsprechenden Fockraumoperator H (Fock) unterschieden werden muß. Integration dieser Gleichung
bzgl. ξ ′ liefert dann
1
i˚ψ(ξ ) = Ĥψ(ξ ) = − ∆
2m + V (⃗x) ψ(ξ ). (4.3.30)
In der Tat erfüllt also die kovariante Zeitableitung des Feldoperators die Schrödingergleichung. Gehen
wir zum Heisenbergbild über, wird die Analogie vollkommen, denn im Heisenbergbild entspricht die
kovariante Zeitableitung der gewöhnlichen Ableitung der Operatoren nach der Zeit. Das läßt sich auch
leicht explizit nachprüfen. Denn wegen (1.9.5) und (1.10.1) gilt
dB
dt = iH(Fock) H
B mit H (Fock)
H
= BH (Fock) B † . (4.3.31)
Multiplizieren wir diese Gleichung von links mit B † erhalten wir (wieder wegen (1.9.1))
bzw. durch erneutes Multiplizieren mit B von links
B † dB
dt = iH(Fock) (4.3.32)
dB
dt = iBH(Fock) . (4.3.33)
1 Freilich müssen wir die Integrationsvariable umbenennen, um nicht in Konflikte mit dem Argument ξ in (4.3.26) zu
geraten! Nennen wir also die Integrationsvariable ξ ′ .
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