Quantentheorie II - FIAS

2.12 Der Stern-Gerlach-Versuch
2.12 · Der Stern-Gerlach-Versuch
Der Stern-Gerlach-Versuch zur „Richtungsquantelung“ wurde 1922, also schon vor der Entwicklung
der modernen Quantentheorie ausgeführt 9 . Das Bohr-Sommerfeldsche Atommodell sagte allerdings
bereits damals voraus, daß der Drehimpuls quantisiert sein sollte. Außerdem war bekannt, daß ein
Atom mit einer Elektronenkonfiguration in einem Zustand zum Bahndrehimpuls l ≠ 0 (in moderner
Sprache ausgedrückt) ein entsprechendes magnetisches Moment wie durch (2.11.39) aufweisen muß.
Der Spin war allerdings noch unbekannt. Gleichwohl sollte ein Atomstrahl mit Atomen mit magnetischem
Moment in einem inhomogenen Magnetfeld abgelenkt werden. Während die klassische Physik
einfach eine kontinuierliche Aufweitung des Strahls vorhersagte, mußte nach dem Bohrschen Atommodell
der Strahl in einem Magnetfeld mit Feldgradient in z-Richtung entsprechend der Quantelung der
z-Komponente des Bahndrehimpulses in diskreter Weise abgelenkt werden. Stern und Gerlach gelang
der Nachweis dieser Richtungsquantelung eines Atomstrahls von Silberatomen. Sie fanden eine Aufspaltung
des Strahls entsprechend zweier Einstellmöglichkeiten der z-Komponente des Drehimpulses,
was mit der damaligen Vorhersage des Bohr-Sommerfeld-Modells verträglich war. Die moderne Quantentheorie
würde allerdings bei einem Teilchen ohne Spin nur Aufspaltungen in eine ungerade Anzahl
von Strahlen vorhersagen, denn der Bahndrehimpuls gehört immer zu Darstellungen der Drehgruppe
mit Drehimpulsquantenzahl l ∈ 0 , und die z-Komponente des Bahndrehimpulses kann immer nur
die (2l + 1) Werte m z = {0,±1,...,±l } annehmen.
Im Lichte der modernen Quantentheorie betrachtet ist allerdings die Aufspaltung in zwei Strahlen für
Silberatome leicht erklärbar: Das Silberatom besitzt ein Valenzelektron, das sich im Grundzustand in
einem Bahndrehimpulszustand l = 0 (s-Orbital) befindet. Die übrigen Elektronen füllen ihre entsprechenden
Orbitale vollständig auf, so daß deren Gesamtdrehimpuls 0 ist. Entsprechend ist der Gesamtdrehimpuls
des Atoms J = 1/2. Es verhält sich also wie ein neutrales Teilchen mit einer großen Masse
und einem magnetischen Moment aufgrund des Spins 1/2 dieses Elektrons, solange das Atom nicht auf
irgendeine Weise in angeregte Zustände übergeht. Dies ist aber unter den Versuchsbedingungen von
Stern und Gerlach nur höchst unwahrscheinlich. Daher können wir bei der Analyse des Experiments
das Silberatom einfach als neutrales Teilchen mit einem magnetischen Moment entsprechend dem vom
Spin des Valenzelektrons behandeln. Entsprechend der beiden Einstellungsmöglichkeiten für die z-
Komponente des Spins (σ = ±1/2) spaltet sich also der Strahl in der Tat in zwei Teilstrahlen auf, von
denen einer aus Teilchen mit σ = 1/2 und einer aus solchen mit σ = −1/2 besteht.
Schon diese qualitative Beschreibung zeigt, warum der Stern-Gerlach-Versuch auch heute noch als Musterbeispiel
für den quantenmechanischen Meßprozeß dient: Er zeigt alle Charakteristika einer quantenmechanischen
Messung, und wir wollen daher dieses Experiment aus quantentheoretischer Sicht
genauer betrachten. Der Versuchsaufbau ist schematisch in Abb. 2.1 dargestellt. In einem Ofen wird
Silber geschmolzen, und durch eine Öffnung tritt ein Atomstrahl aus und wird durch Blenden auf eine
bestimmte Richtung fokussiert. Dies können wir im Sinne der Quantentheorie als Präparation der Silberatome
auffassen. Wir haben es allerdings mit einem gemischten Zustand von Teilchen zu tun, die
einen Impuls besitzen, der entsprechend einer thermischen Verteilung um den Mittelwert ⃗p = ⃗e x p 0
verteilt ist. Die Atome durchlaufen nun ein inhomogenes zeitlich konstantes Magnetfeld, welches
wir in der Nähe des Strahls durch die Entwicklung bis zur ersten Ordnung in den Raumkoordinaten
approximieren können:
⃗B = (B 0 + βz)⃗e z − βy⃗e y . (2.12.1)
9 Eine äußerst vergnügliche Darstellung der Historie des Stern-Gerlach-Versuchs findet sich in [FH03].
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