Quantentheorie II - FIAS

6.4 · Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Kombiniert man beide Gleichungen, gilt auch wieder
□ ⃗ A = 0. (6.4.17)
Lösen wir nun diese Gleichung unter Berücksichtigung der Nebenbedingung (6.4.12), ergibt sich in genauer
Analogie zum klassischen Fall (6.3.46) die Modenentwicklung
∫
⃗A(x) =
3
d 3⃗ k
(2π) 3 2ω( k) ⃗
2∑
⃗ε α ( k) ⃗ a α ( k)exp(−ik ⃗ x) + a † α (⃗ k)exp(+ik x) k 0 =+ω( k):=| ⃗ k| ⃗ . (6.4.18)
α=1
Dabei sind die Polarisationsvektoren ⃗ε α ( ⃗ k) reell gewählt und erfüllen die Bedingungen (6.3.40-6.3.42).
Aus den kanonischen Feldkommutatoren (6.4.13) und (6.4.14) ergeben sich nach einigen Rechnungen
die Kommutatorregeln (Übung)
aα ( ⃗ k),a β (⃗p) = 0,
a α ( ⃗ k),a † β (⃗p)
= δ αβ δ (3) (⃗p − ⃗ k). (6.4.19)
Dies sind nun genau die Kommutatorregeln für Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Bose-
Teilchen, die einen zusätzlichen diskreten Freiheitsgrad, die „Polariation“ α ∈ {1,2}, besitzen. Dieser
Polarisationsfreiheitsgrad ist analog zu den Spin-z-Komponenten bei den Weyl-Fermionen. Man nennt
die in diesem Sinne dem elektromagnetischen Feld zugeordneten „Teilchen“ Photonen. Wir können
nun den Fock-Raum für Vielteilchenzustände ganz analog wie bei den nichtrelativistischen Weyl-Fermionen
aufbauen. Freilich ist die Besetzungszahlbasis hier durch die vollständig symmetrisierten
Produkte von N ∈ {0,1,2,...} Photonen-Impuls-Polarisations-Eigenzustände gegeben. Mit dem
Vakuumzustand, der durch
a α ( ⃗ k)|Ω〉 = 0 (6.4.20)
bestimmt ist, sind diese Besetzungszahlzustände durch
k ⃗ 1 ,α 1 ; k ⃗ 2 ,α 2 ;...; k ⃗ +
N ,α N = a † ( k ⃗ 1 , ⃗α 1 )a † ( k ⃗ 2 , ⃗α 2 )···a † ( k ⃗ N , ⃗α N )|Ω〉 (6.4.21)
gegeben.
Beachten wir nun die erste Gleichung von (6.4.16) folgt durch einfache Rechnungen (Übung!), daß die
Lösungen (6.4.18) zwar die kanonischen Kommutatorregeln (6.4.14) erfüllen, während (6.4.13) durch
die mit der Nebenbedingung (6.4.12) verträgliche Kommutatorrelation
A a (t, ⃗x),Π b (t, ⃗y)
= A a (t, ⃗x),Ȧb (t, ⃗y)
∫
d 3⃗
k
= i δ ab − ka k b
exp ik ⃗ · (⃗x − ⃗y) (6.4.22)
:= iδ ab
3 (2π) 3 ⃗k 2
⊥ (⃗x − ⃗y)
ersetzt wird. Dabei haben wir die auch sonst noch nützliche Polarisationssumme
∑
ε a ( k,α)ε ⃗ b ( k,α) ⃗ = δ ab − ka k b
α
⃗k 2 (6.4.23)
verwendet, die sich durch direktes Nachrechnen mit Hilfe von (6.3.40-6.3.42) ergibt.
Der Ausdruck auf der rechten Seite von (6.4.22) bezeichnen wir kurz als
δ ab
⊥ (⃗x) = ∫
3
d 3⃗
k
δ ab − ka k b
exp(ik ⃗ · ⃗x) = δ ab δ (3) (⃗x − ⃗y) − δ ab (⃗x). (6.4.24)
(2π) 3 ⃗k 2
‖
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