Quantentheorie II - FIAS

7.2 · Spinor-QED in Coulombeichung
ausdrücken. Dazu bilden wir die „zeit-räumlichen“ und „raum-räumlichen“ Komponenten
F 0 j = Ȧj − ∂ j A 0 = −Ȧj − ∂ j A 0 = E j ,
F j k = ∂ j A k − ∂ k A j = −∂ j A k + ∂ k A j = ε k j l (rot ⃗ A) l = −ε j k l B l .
(7.1.27)
Dies in die Feldgleichungen eingesetzt ergibt die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
rot ⃗ B − ∂ ∂ t
⃗E = ⃗ j em , div ⃗ E = ϱ em = j 0 em . (7.1.28)
Die homogenen Maxwell-Gleichungen sind die Integrabilitätsbedingung für ihre Herleitbarkeit aus
den elektromagnetischen Potentialen Φ = A 0 und ⃗ A:
⃗E = − ∂ ∂ t
⃗A− ⃗ ∇Φ,
B ⃗ = ∇ ⃗ × A ⃗ ⇔ ∇ ⃗ × ⃗E + ∂
⃗B = 0, div B ⃗ = 0. (7.1.29)
∂ t
Die Formulierung durch die vier Maxwell-Gleichungen (7.1.28) und (7.1.29) für die eichinvarianten
beobachtbaren Felder ⃗ E und ⃗ B zeigt nochmals explizit die Eichinvarianz der Theorie.
7.2 Spinor-QED in Coulombeichung
Wir quantisieren die QED gleich im Wechselwirkungsbild. Die Rechnungen für die freien Feldoperatoren
haben wir bereits in den Abschnitten 6.4 und 6.7 durchgeführt. Wir fassen die entsprechenden
Resultate aber hier nochmals übersichtlich zusammen und leiten die im folgenden benötigten Feynman-Regeln,
also die freien Green-Funktionen für Photonen und Dirac-Teilchen und die störungstheoretischen
elementaren Wechselwirkungsvertizes her.
Der freie Lagrangedichteoperator ist durch den Anteil der vollständigen Lagrangedichte (7.1.14) gegeben,
welcher bilinear in den Feldern ist,
Die kanonischen Feldimpulsoperatoren sind demnach
0 = 1 ⃗Ȧ 2 + 1 ⃗A · ∆A ⃗ + ψ(i /∂ − m)ψ. (7.2.1)
2 2
und die freie Hamiltondichte
⃗Π γ = ∂ 0
∂ ˙⃗
= ˙⃗ A, Πe = ∂ 0
A ∂ ˙ψ = iψγ 0 (7.2.2)
0 = 1 ⃗Π 2 γ
2
− 1 A ⃗ · ∆A ⃗ − Π
2 e γ 0 ( ∇ ⃗ · ⃗γ + im)ψ. (7.2.3)
Hierbei verzichten wir auf die Normalordnung.
Die kanonischen Antikommutatorregeln für das Diracfeld und die Kommutatorregeln für das Photonenfeld
in Coulombeichung können wir direkt (6.7.1) bzw. 6.4.22 entnehmen:
{ψ a
(t, ⃗x),ψ b
(t, ⃗y)} = 0, {ψ a
(t, ⃗x),Π b (t, ⃗y)} = i ψ a
(t, ⃗x),ψ † b (t, ⃗y) = iδ ab δ (3) (⃗x − ⃗y),
A j (t, ⃗x),A k (t, ⃗y)
= 0, A j (t, ⃗x),Ȧk (t, ⃗y) = iδ j k
⊥ (⃗x − ⃗y). (7.2.4)
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