Quantentheorie II - FIAS

1.5 · Die Heisenbergsche Unschärferelation
mit einer gewissen statistischen Unsicherheit ∆x „in der Nähe von x 0 “ liegen. Diese Unsicherheit
kann, wie in der Statistik üblich, durch die Standardabweichung definiert werden:
∆x = 〈x 2 〉 − 〈x〉 2 = ψx0
〈(x − 〈x〉) 2 x2
〉 = ψ x0 − 〈x〉 2 . (1.4.16)
1.5 Die Heisenbergsche Unschärferelation
Eine wichtige Folgerung aus der statistischen Interpretation des quantentheoretischen Zustandsbegriffs
über die Bornsche Regel (1.1.2) ist die Heisenbergsche Unschärferelation. Seien dazu A und B zwei
Observablen, die zueinander kompatibel oder inkompatibel sein können, und |ψ〉 irgendein Zustand 3
des Systems. Dann gibt es eine untere Schranke für das Unschärfeprodukt ∆A∆B.
Heisenberg ist auf diese Folgerung anhand des Beispiels von Ort und Impuls gekommen. Haben wir
nämlich, wie in dem gerade besprochene Beispiel der Lokalisierung eines Teilchens in der Nähe des
Ortes x 0 , eine Wellenfunktion ψ x0
(x), die scharf um diesen Ort gepeakt ist, so wird die entsprechende
Impulsverteilung durch die Fouriertransformierte der Wellenfunktion gegeben sein (vgl. (1.3.12)). Die
daraus resultierende Impulsverteilung wird aber desto breiter und entsprechend ∆ p desto größer sein
je schärfer die Ortsverteilung (also je kleiner ∆x) ist.
Der bis jetzt entwickelte quantentheoretische Formalismus läßt bereits eine Quantifizierung der
Schranke für ∆A und ∆B zu. Um diese zu finden, definieren wir hilfsweise die neuen Operatoren
A ′ = A − 〈A〉1, B ′ = B − 〈B〉1. (1.5.1)
Die Erwartungswerte sind dabei bzgl. des betrachteten Zustandes |ψ〉 zu bilden. Dann gilt nämlich
A
′ = B ′ = 0, ∆A 2 = A ′2 , ∆B 2 = B ′2 ,
A ′ , B ′ = [A, B]. (1.5.2)
Es sei weiter λ ∈ . Dann definieren wir das quadratische Polynom
P(λ) = (A ′ + iλB ′ )ψ (A ′ + iλB ′ )ψ = ψ (A ′ − iλB ′ )(A ′ + iλB ′ )ψ . (1.5.3)
Ausmultiplizieren des Operatorprodukts liefert dann unter Verwendung von (1.5.2)
Da A und B selbstadjungiert sind, gilt
P(λ) = ∆A 2 + λ 2 ∆B 2 + λ〈ψ|i[A, B]ψ〉. (1.5.4)
{i[A, B]} † = −i(AB − BA) † = −i(B † A † − A † B † ) = −i(BA − AB = +i[A, B]. (1.5.5)
Es ist also auch i[A, B] selbstadjungiert und folglich der Koeffizient von λ in (1.5.4) reell:
〈ψ|i[A, B]ψ〉 ∈ . (1.5.6)
Das quadratische Polynom (1.5.4) ist also reell und wegen der positiven Definitheit des Skalarprodukts
gilt für alle λ ∈
P(λ) ≥ 0. (1.5.7)
3 Es ist hier wichtig, daß es sich um einen „echten“ Hilbertraumvektor handelt und nicht um einen verallgemeinerten
Eigenvektor zu einem Wert im kontinuierlichen Spektrum eines Operators!
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