Quantentheorie II - FIAS

5.1 · Zweiteilchen-Streuung
Das Wicksche Theorem beschreibt nun, wie ein beliebiges Operatorprodukt sich durch Kontraktionen
von Operatorpaaren und normalgeordneten Operatorprodukten ausdrücken läßt. Sei also A 1 A 2 ···A k
ein beliebiges Produkt von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren A j ( j ∈ {1,2,..., k}). Dann besagt
das Wicksche Theorem, daß
A 1 A 2 · A k = : A 1 A 2 ···A k :
+ A • 1 A• 2 : A 3 ···A k : +Permutationen
+ A • 1 A• 2 A•• 3 A•• 4 : A 5 ···A k : +Permutationen
+ ···
+
A
•
1
A • 2 A•• 3 A•• 4 ···A••• k−1 A••• k
+ Permutationen falls k gerade,
A • 1 A• 2 A•• 3 A•• 4 ···A••• k−2 A•••
k−1 A k + Permutationen falls k ungerade (5.1.74)
ist. Dabei bedeutet „+Permutationen“ immer die Summation des davorstehenden Ausdrucks über alle
möglichen Permutationen der Operatoren in dem davorstehenden Ausdruck, wobei das Vorzeichen
der Permutationen zu berücksichtigen ist.
Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion nach k. Für einen Operator ist die Behauptung trivial.
Für zwei Operatoren gilt
A 1 A 2 =
: A1 A 2 :
falls A 2 Vernichter oder beide Operatoren Erzeuger sind,
: A 1 A 2 : +{A 1 ,A 2 } falls A 1 Vernichter- und A 2 Erzeuger ist.
(5.1.75)
In allen Fällen können wir offenbar schreiben
A 1 A 2 =: A 1 A 2 : + 0
〈Ω|A 1 A 2 |Ω〉 0
=: A 1 A 2 : +A • 1 A• 2 . (5.1.76)
Falls nämlich in (5.1.75) der obere Fall eintritt, ist die Kontraktion auf der rechten Seite 0, und im
letzteren Fall ist
A 1 A 2 = a 1 a † 2 = −a† 2 a† 1 +
a 1 ,a † 2 =: a1 a † 2 : +a• 1 a†• 2 . (5.1.77)
Nehmen wir nun an, das Wicksche Theorem sei korrekt für ein k = n. Dann ist
A 1 ...A n A n+1 = : A 1 A 2 ···A n : A n+1
+ A • 1 A• 2 : A 3 ···A n : A n+1 + Perm n
+ A • 1 A• 2 A•• 3 A•• 4 : A 5 ···A n : A n+1 + Perm n
+ ···
A
•
+ 1
A • 2 A•• 3 A•• 4 ···A••• n−1 A••• n A n+1 + Perm n falls n gerade,
A • 1 A• 2 A•• 3 A•• 4 ···A••• n−2 A••• n−1 A n A n+1 + Perm n falls n ungerade.
(5.1.78)
Dabei bedeutet +Perm n , daß über alle Permutationen der ersten n Operatoren zu summieren ist.
Falls nun A n+1 ein Vernichter ist, ist unmittelbar klar, daß dies identisch ist mit der Aussage des Wickschen
Theorems für k = n + 1, denn es ist in dem Fall : A j ···A j ′ : A n+1 =: A j ···A j ′A n+1 :. Die
zusätzlich im Wicktheorem für k = n + 1 gegenüber (5.1.78) auftretenden Kontraktionen mit irgendeinem
der Operatoren A 1 ,...,A n verschwinden allesamt, und damit ist das Wicksche Theorem für
diesen Fall bewiesen.
Sei also A n+1 ein Erzeuger. Dann ist dieser Operator ggf. mit allen davorstehenden Operatoren in
einem Normalprodukt in (5.1.78) zu vertauschen, wobei jedesmal (5.1.76) für Paare zur Anwendung
157