Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
6.5 Das Verhalten der Felder unter Poincaré-Transformationen
Um die Lorentz-Invarianz des Quantisierungsverfahrens zu überprüfen, müssen wir zeigen, daß die
so definierten Operatoren H und ⃗ P zeitliche bzw. räumliche Verschiebungen und ⃗ J und ⃗ K Boosts erzeugen,
d.h. daß die Kommutatoren der Feldoperatoren A µ (x) mit diesen die Lie-Algebra der eigentliche
orthochronen Poincaré-Gruppe repräsentierenden Operatoren infinitesimalen Transformationen
entsprechen, wie sie für das klassische Feld ⃗ A(x) zu erwarten sind.
Es ist einfacher, anstelle mit der Impulsraumformulierung (6.4.33) und (6.4.38-6.4.40) direkt mit den
Raum-Zeitformulierungen der Erhaltungsgrößen
H = d
∫ 3 ⃗x 1
3 2 : ⃗E
2 2
(x) + B ⃗ (x) :, (6.5.1)
∫
⃗P = d 3 ⃗x : E ⃗ × B ⃗ :, (6.5.2)
3
⃗K = d
∫ 3 ⃗x 1
3 2 : ⃗E
2 2
(x) + B ⃗ (x) : ⃗x − t P, ⃗ (6.5.3)
⃗ J =
∫ 3 d 3 ⃗x ⃗x× : ⃗ E(x) × ⃗ B(x) : (6.5.4)
zu arbeiten.
Betrachten wir zunächst die räumlichen Translationen. Sie sollten durch den Operator
U T (⃗a) = exp −i⃗a · ⃗P (6.5.5)
gegeben sein. Um zu zeigen, daß sich der Vektorpotentialoperator entsprechend transformiert beachten
wir, daß für eine infinitesimale Translation
A ′a (⃗x ′ ) = U T (δ ⃗a)A a (⃗x ′ )U † T (δ ⃗a) = Aa (⃗x ′ ) + iδa b A a (⃗x ′ ), P b , (6.5.6)
wobei ⃗x ′ = ⃗x − δ ⃗a ist. Es sollte freilich dieselbe Transformationsregel wie für die klassischen Felder
gelten, also
A ′a (⃗x ′ ) = A a (⃗x). (6.5.7)
Um den Kommutator zu berechnen, benötigen wir die Kommutatorregeln zwischen A a (⃗x ′ ) mit dem
elektrischen und magnetischen Feld ⃗ E(y) und ⃗ B(y). Da die Größen (6.5.1-(6.5.4) wegen des Noether-
Theorems zeitunabhängig sind, genügt, es, wenn wir die Kommutatorrelationen der Felder zu gleichen
Zeiten bestimmen. Wegen ⃗ E = − ˙⃗ A = − ⃗ Π und ⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A folgen diese Regeln unmittelbar aus
(6.4.14) und (6.4.22),
A a (t, ⃗x), E b (t, ⃗y) = −iδ ab
⊥ (⃗x − ⃗y),
A a (t, ⃗x), B b (t, ⃗y) = 0. (6.5.8)
Berechnen wir also unter Verwendung von (6.5.2) zunächst den Kommutator
i A a (t, ⃗x), P ∫
d = i d 3 ⃗yε d b c A a (t, ⃗x), E b (t, ⃗y)B c (t, ⃗y) . (6.5.9)
3
Dabei konnten wir die Normalordnungsvorschrift in (6.5.2) weglassen, weil diese nur einen um eine
reine Zahl verschiedene additive (divergente) Konstante zu P d hinzufügt, die im Kommutator keinen
200