Quantentheorie II - FIAS

2.2 · Hamiltonsche kanonische Mechanik
Da beim Hamiltonschen Prinzip die Zeit nicht variiert wird, gilt δ ˙⃗x = d/dt(δ ⃗x), und durch partielle
Integration folgt unter den Randbedingungen in (2.2.2)
∫ t2
∂ L
δA = dt δ ⃗x
∂ ⃗x − d
∂ L !
dt ∂ ˙⃗x
= 0. (2.2.4)
t 1
Da wir nun für δ ⃗x beliebige hinreichend glatte Funktionen einsetzen dürfen, folgt aus dem Verschwinden
der Variation des Wirkungsfunktionals wegen (2.2.4) das Verschwinden der eckigen Klammer unter
dem Integral und also die Euler-Lagrange-Gleichungen
∂ L
∂ L
∂ ⃗x − d dt ∂ ˙⃗x
!
= 0. (2.2.5)
Setzen wir für ein Newtonsches Punktteilchen unter dem Einfluß eines äußeren Potentials die Lagrange-Funktion
L(x, ẋ, t) = m ˙⃗x 2 − V (t, ⃗x). (2.2.6)
2
an, ergeben die Euler-Lagrange-Gleichungen in der Tat die Newtonsche Bewegungsgleichung
m ¨⃗x = − ∂ V
∂ ⃗x := ⃗ F . (2.2.7)
Für das folgende ist allerdings die Hamiltonsche Formulierung im Phasenraum zweckmäßiger. Dazu
definieren wir die zu den Konfigurationsvariablen ⃗x gehörigen kanonisch konjugierten Impulse
⃗p := ∂ L
∂ ˙⃗x
und die Hamilton-Funktion als Legendre-Transformierte der Lagrangefunktion bzgl. ⃗p:
(2.2.8)
H(⃗x, ⃗p, t) = ⃗p · ˙⃗x − L(⃗x, ˙⃗x, t). (2.2.9)
Dabei sind in der Lagrangefunktion die Geschwindigkeiten ˙⃗x durch die kanonischen Impulse ⃗p auszudrücken.
Die Wirkung wird dann zu einem Funktional für Phasenraumtrajektorien [⃗x(t), ⃗p(t)],
∫ t2
A[⃗x, ⃗p] = dt [⃗p · ˙⃗x − H(⃗x, ⃗p, t)]. (2.2.10)
t 1
Das erweiterte Hamiltonsche Prinzip besagt dann, daß sich die tatsächlich durchlaufene Phasenraumtrajektorie
des Teilchens aus der Stationarität unter unabhängigen Variationen δ ⃗x, δ ⃗p mit den Randbedingungen
δ ⃗x(t 1 ) = δ ⃗x(t 2 ) = 0 ergibt 3 .
Führen wir die Variation aus, ergeben sich die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (Übung!)
˙⃗x = ∂ H
∂ ⃗p ,
˙⃗p = −
∂ H
∂ ⃗x . (2.2.11)
Daß diese in der Tat zu den Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent sind, ergibt sich direkt durch Bildung
des totalen Differentials von (2.2.9):
dH = d⃗p · ˙⃗x − d⃗x · ∂ L
∂ ⃗x − dt ∂ L
∂ t = d⃗p · ∂ H
∂ ⃗p + d⃗x · ∂ H
∂ ⃗x + dt ∂ H
∂ t . (2.2.12)
3 Bemerkung: Die δ ⃗p werden frei variiert, ohne spezielle Randbedingungen zu verlangen!
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