Quantentheorie II - FIAS

4.3 · Fockraumformulierung für Observablen
Da der Hamiltonoperator im Schrödingerbild H (Fock) nicht von der Zeit abhängt, ist
Also ist
und der Feldoperator im Heisenbergbild
B = exp itH (Fock) . (4.3.34)
H (Fock)
H
= BH (Fock) B † = H (Fock) (4.3.35)
ψ H
(t,ξ ) = Bψ(ξ )B † . (4.3.36)
Ableiten dieses Ausdrucks nach der Zeit liefert unter Verwendung von (4.3.34) in der Tat sofort
∂ t ψ H
(t,ξ ) = −iB ψ(ξ ),H (Fock) B † = 1 i BĤψ(ξ )B† = 1 i Ĥψ H
(t,ξ ). (4.3.37)
Der Feldoperator im Heisenbergbild erfüllt also dieselbe Schrödingergleichung wie die Wellenfunktion
für ein Teilchen. Historisch wurde der Fock-Raumformalismus daher auch als „zweite Quantisierung“
bezeichnet. Dabei verstand man als „erste Quantisierung“ den Übergang von der klassischen
Mechanik zur Quantenmechanik, indem man Ort und Impuls als Operatoren im Hilbertraum auffaßte
und korrespondenzmäßig (d.h. über die Identifikation der Poissonklammeralgebra der klassischen
Theorie mit der Kommutatoralgebra der Operatoren) die kanonischen Kommutatorrelationen festlegte.
Die Fock-Raumformulierung der Vielteilchentheorie bezeichnete man dann als die „zweite Quantisierung“.
In der Tat kann man die Kommutatorrelationen durch „kanonische Quantisierung“ aus der
Hamilton-Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung für klassische Feldtheorien gewinnen
(wobei wieder die Poissonklammern der klassischen Theorie auf Kommutatoren in der Quantentheorie
führen). Unser Zugang zur Fock-Raumformulierung zeigt aber, daß es sich nicht um eine neue Theorie
handelt, sondern lediglich um eine alternative mathematische Formulierung der Quantentheorie
eines Vielteilchensystems gleichartiger Teilchen, wobei als einziges neues Postulat das Prinzip von der
Ununterscheidbarkeit gleichartiger Teilchen hinzugetreten ist, welches uns auf die vollständig symmetrischen
(antisymmetrischen) N-Teilchenräume für Bosonen (bzw. Fermionen) geführt hat.
Es ist weiter klar, daß wir den nunmehr hergeleiteten Fock-Raumformalismus auch mit irgendeiner
anderen Einteilchenbasis hätten beginnen können, z.B. mit der Impuls-Spindarstellung. Das führt natürlich
wieder auf dieselbe Theorie wie unsere Orts-Spindarstellung.
Im Fall wechselwirkender Teilchen, z.B. wenn der Hamiltonoperator eine Zweiteilchenwechselwirkung
der Art (4.3.25) enthält, werden die operatorwertigen Bewegungsgleichungen nichtlinear, und
man kann i.a. keine Lösungen für diese Gleichungen finden. Daher ist man bei wechselwirkenden Teilchen
auf Näherungsverfahren wie die Störungstheorie angewiesen, die wir im nächsten Kapitel besprechen
werden.
4.3.5 Kanonische Feldquantisierung
Man kann auf die quantentheoretische Formulierung der Vielteilchensysteme im Fock-Raum auch
noch auf andere Weise gelangen, und zwar indem man in Analogie zur kanonischen Quantisierung von
Punktteilchensystemen zunächst eine klassische Feldtheorie betrachtet und die Feldgleichungen aus
dem Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung herleitet und dann über die Poisson-Klammern
der klassischen Theorie zu Kommutator- bzw. Antikommutatorregeln für bosonische bzw. fermionische
Feldoperatoren übergeht. Die Rechtfertigung dieses eher heuristischen Verfahrens besteht darin,
daß sich daraus die korrekten Kommutatorregeln für die Operatoren der Galileigruppe, formuliert
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