Quantentheorie II - FIAS

1.7 · Unitäre Symmetrietransformationen
Ein besonders einfacher (wenngleich wichtiger) Spezialfall einer unitären Symmetrie ist die Phaseninvarianz
der Quantentheorie. Setzen wir nämlich
U = exp(iϕ)1 mit ϕ ∈ , (1.7.9)
so ist gemäß (1.7.1)
ψ ′ = exp(iϕ)|ψ〉, O ′ = O. (1.7.10)
Daß U unitär ist, ist klar, denn es gilt
U † = exp(−iϕ)1 † = exp(−iϕ)1. (1.7.11)
Wir können also alle Vektoren |ψ〉 mit demselben Phasenfaktor multiplizieren, ohne daß sich an
den Aussagen über das physikalische System etwas ändert, d.h. insbesondere, daß der Vektor ψ ′ =
exp(iϕ)|ψ〉 denselben Zustand des Systems repräsentiert wie |ψ〉.
Als weiteres weniger triviales Beispiel betrachten wir
U T ( ξ ⃗ i ⃗
ξ · ⃗p
) = exp . (1.7.12)
ħh
Wir wollen zeigen, daß dieser Operator räumliche Translationen beschreibt. Das ist insofern plausibel
als auch in der klassischen Mechanik der Impuls die zur räumlichen Translationssymmetrie gehörige
Erhaltungsgröße und im Poissonklammernformalismus der Hamiltonschen Mechanik Generator
dieser räumlichen Translationen ist (Noethertheorem! Vgl. [Hee08a]). Wir gehen darauf in Kapitel
2 dieses Manuskripts noch sehr genau ein.
Betrachten wir zunächst die Wirkung des Operators U T (ξ ) auf die Orts- und Impulsoperatoren gemäß
(1.7.1). Da die Impulsoperatoren wegen (1.5.10) untereinander und folglich auch mit jeder Funktion
von Impulsoperatoren vertauschen, gilt
⃗p ′ = U T ( ⃗ ξ )⃗pU † T ( ⃗ ξ ) = ⃗pU T ( ⃗ ξ )U † T ( ⃗ ξ ) = ⃗p. (1.7.13)
Der Impulsoperator bleibt also ungeändert, so wie es ja räumlichen Translationen entspricht.
Etwas schwieriger ist die Herleitung der Transformation des Ortsoperators. Dazu betrachten wir den
transformierten Operator als Funktion der Parameter ⃗ ξ :
Bilden wir nun die Ableitung nach ξ k :
∂
∂
x ′ j
∂ ξ (ξ ) = U
k ∂ ξ T ( ξ ⃗ )
k
x ′ j ( ⃗ ξ ) = U T ( ⃗ ξ )x j U † T ( ⃗ ξ ). (1.7.14)
x j U † T (ξ ) + U T ( ⃗ ξ )x j
Da alle drei Impulsoperatoren untereinander vertauschen, gilt
∂
∂ ξ k
U † T ( ⃗ ξ ). (1.7.15)
∂
∂ ξ k
U T ( ⃗ ξ ) = i ħh U T ( ⃗ ξ )p k
,
∂
∂ ξ k
U † T ( ⃗ ξ ) = − i ħh p k U† T ( ⃗ ξ ). (1.7.16)
Dies in (1.7.15) eingesetzt ergibt nach einigen einfachen Umformungen
∂
x ′ j
∂ ξ (ξ ) = − i k ħh U T ( ξ ⃗ )
x j ,p k
} {{ }
U † T ( ξ ⃗ ) = δ j k 1 (1.7.17)
iħhδ j k
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