Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
Teilchen forminvariant unter den Galilei-Transformationen. Für Felder bietet es sich an, die Analyse
der Symmetrien in der Lagrange-Formulierung durchzuführen. Betrachten wir also zunächst die Wirkung
für klassische Felder ψ 2 .
Es bietet sich nun an, bereits hier die relativistische Notation für die Raumkomponenten und die Zeit
anzuwenden. Wir fassen diese Komponenten zusammen in einen Vierervektor, dessen Komponenten
wir mit hochgestellten griechischen Indizes versehen. Sie laufen stets von 0 bis 3, d.h. wir setzen x 0 :=
t. Die hochgestellten Indizes sind nicht mit Potenzen zu verwechseln. Wir werden weiter unten bei
der Behandlung der Lorentz-Transformationen sehen, warum diese Schreibweise nützlich ist. Unsere
Vierervektoren sind wie folgt definiert
x = (x µ t
) =
⃗x
⎛ ⎞ ⎛
t x 0 ⎞
= ⎜x 1
⎟
⎝x 2 ⎠ = ⎜x 1
⎟
⎝x 2 ⎠ . (4.3.66)
x 3 x 3
Hat man irgendeine Funktion f (x) = f (t, ⃗x) gegeben, so bezeichnen wir die Komponenten des Vierergradienten
mit einem unteren Index, d.h. es gilt
∂ µ f (x) :=
∂ f (x). (4.3.67)
∂ x
µ
Es ist also
[∂ µ f (x)] =
⎛ ⎞
∂ t f (x)
∂t f (x)
= ⎜
∂ x f (x)
⎟
⃗∇ f (x) ⎝∂ y f (x) ⎠ . (4.3.68)
∂ z f (x)
Über wiederholte griechische Indizes wird wieder stillschweigend summiert (Einsteinsche Summationskonvention).
Wir betrachten nun infinitesimale Transformationen der Form
δ x µ = δα a T µ
a (x), δψ = δα a Λ a (ψ, x). (4.3.69)
Dabei sind die δα a die „infinitesimalen“ Parameter der betrachteten Symmetriegruppe. Die Wirkung
können wir nun in der Form
∫
A[ψ] = d 4 x (ψ,∂ µ ψ, x) (4.3.70)
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schreiben. Die Bewegungsgleichungen ergeben sich, wie in Abschnitt 4.3.5 gezeigt, aus der Stationarität
dieses Funktionals unter beliebigen Variationen der Felder, wobei die Raumzeitkoordinaten x µ nicht
mitvariiert werden. Dieses Hamiltonsche Wirkungsprinzip für Felder führt auf die Euler-Lagrange-
Gleichungen (4.3.43). In unserer Vierervektornotation können wir diese übersichtlicher zu
zusammenfassen.
∂
∂ ψ − ∂ ∂
µ
∂ (∂ µ ψ) = 0 (4.3.71)
2 Im folgenden wird für mehrkomponentige Felder, wie z.B. Spinorfeldern, stets stillschweigend über alle Feldkomponenten
summiert. Für komplexe Felder sind auch wieder ψ und ψ ∗ als unabhängige Feldfreiheitsgrade anzusehen.
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