Quantentheorie II - FIAS

2.12 · Der Stern-Gerlach-Versuch
0.016
0.014
σ 0 = +1/2
σ 0 = −1/2
0.012
dN/dz (a.u.)
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
−〈z〉(t L )
0
z
+〈z〉(t L )
(a.u.)
Abbildung 2.2: Wahrscheinlichkeitsverteilung für die z-Position eines Teilchens nach Durchlaufen eines
inhomogenen Magnetfeldes bei x = L. Anfangs lag eine bei ⃗x = 0 gepeakte Gaußverteilung vor,
wobei die Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Spinkomponente σ = +1/2 oder σ = −1/2
besitzen.
mit der Phase
1
Φ(t, ⃗x) =
− 16∆ 4 M 2 [3 p
24M(4∆ 4 m 2 + t 2 0 2 )
t − 6M p 0 x + aM σ t(aM σ t 2 + 6M z)]
+ t(−M 2 a 2 σ 2 t 4 − 12M 2 aσ t 2 + 16M 2 ⃗x 2 ) .
(2.12.21)
Um diese Wellenfunktion zu interpretieren, bilden wir ihr Betragsquadrat:
2
|ψ σ (t, ⃗x)| 2 M 2 ∆ 2 3/2
=
|c
π 4M 2 ∆ 4 + t 2 σ | 2
× exp − 2M 2 ∆ 2
x − p 0 t 2
+ y 2 + z + aσ 2
4∆ 4 M 2 + t 2 M
2 t 2 .
(2.12.22)
Die Ortswahrscheinlichkeitsverteilung für ein Teilchen mit anfangs scharf bestimmter Spin-z-Komponente
σ ist also zur Zeit t in der Tat eine Gaußverteilung, mit Ortserwartungswerten entsprechend
der Bewegung des entsprechenden klassischen Teilchens. Dies liegt daran, daß die Kraft hier konstant
ist und folglich die Ortserwartungswerte aufgrund des Ehrenfestschen Theorems die klassischen Bewegungsgleichungen
erfüllen. Dies ersieht man auch durch direkte Mittelwertbildung aus (2.12.11). Die
Unschärfe jeder der Ortskomponenten ist
4∆4 M
∆x(t) = ∆y(t) = ∆z(t) =
2 + t 2
. (2.12.23)
2M∆
Stellen wir nun einen Schirm bei x = L auf, erreicht das Maximum des Wellenpakets diesen Schirm
bei t = t L = 2M L/ p 0 , und wir erhalten eine gute Separation der beiden Peaks in z-Richtung, wenn die
entsprechende Unschärfe klein gegen 2z(t L ) = aσ t 2 L ist.
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