Quantentheorie II - FIAS

2.11 · Die Pauli-Gleichung
Dabei ist χ ein beliebiges skalares Feld. Wir werden in einem späteren Kapitel noch genau auf die Eichinvarianz
der Elektrodynamik zurückkommen, die sich dort als notwendige Folgerung aus der Symmetrie
der speziell relativistischen Raumzeit (Minkowski-Raum) unter Poincaré-Transformationen
ergeben wird.
Eine interessante Folgerung aus dem Transformationsverhalten (2.11.47) ist, daß es in Theorien mit
mehreren Teilchensorten keine Überlagerungen von Zustandsvektoren (bzw. Wellenfunktionen in der
Ortsdarstellung) zu Teilchen mit verschiedener Ladung geben darf, weil für solche Überlagerungen die
Theorie nicht mehr eichinvariant wäre, weil dann die Phasenfaktoren für die verschiedenen Wellenfunktionen
verschieden wären, denn diese enthält explizit die jeweilige Ladung der Teilchen. Dieses
Verbot von Superpositionen heißt Ladungs-Superauswahlregel.
Wir leiten schließlich noch die Erhaltung der Norm der Wellenfunktion unter Zeitentwicklungen aus
der Pauli-Gleichung her, die im abstrakten Bra-Ket-Formalismus (z.B. im Schrödingerbild) schon aus
der Selbstadjungiertheit von H folgt. Allerdings ergibt sich bei der Herleitung für die Wellenfunktion
der Wahrscheinlichkeitsstrom für Spin-1/2-Teilchen im elektromagnetischen Feld, der uns im nächsten
Kapitel noch nützlich sein wird. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Messung eines Teilchens
am Ort ⃗x mit Spin-z-Komponente σ = ±1/2 ist nach dem Bornschen Postulat durch
P(t, ⃗x,σ) = |〈⃗x,σ |ψ(t)〉| 2 = |ψ σ (t, ⃗x)| 2 (2.11.48)
gegeben 7 . Interessiert man sich für die reine Teilchendichte, unabhängig davon, welche Spineinstellung
man vorfindet, folgt
P(t, ⃗x) = ∑ |ψ σ (t, ⃗x)| 2 = ψ † (t, ⃗x)ψ(t, ⃗x). (2.11.49)
σ
Wir wollen nun zeigen, daß es eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte ⃗ j (t, ⃗x) gibt, so daß die Kontinuitätsgleichung
∂ P
∂ t + ⃗ ∇ · ⃗j = 0 (2.11.50)
gilt. Dazu leiten wir (2.11.49) nach der Zeit ab und verwenden die Pauli-Gleichung für die Zeitableitungen.
Wir benötigen dazu zunächst die Pauligleichung für den adjungierten Weyl-Spinor ψ † . Bilden
wir also die hermitesch Adjungierte der Gleichung (2.11.31):
−i ∂ ψ†
∂ t
= − 1
2m ( ⃗ ∇ + i ⃗ A) 2 ψ † − g s µ B ψ † ˆ⃗S · ⃗ B + qΦ(t, ⃗x)ψ † . (2.11.51)
dabei haben wir die Selbstadjungiertheit der Spinmatrizen verwendet. Nach einigen Umformungen
(Übung) gelangt man schließlich zu der folgenden Form des Wahrscheinlichkeitsstromes
⃗ j =
1
2mi [ψ† ⃗ ∇ψ − ( ⃗ ∇ψ † )ψ − 2iq ⃗ Aψ † ψ]. (2.11.52)
Es läßt sich auch leicht zeigen (Übung), daß dieser Ausdruck unter der Eichtransformation (2.11.47) invariant
ist, wie es für physikalisch beobachtbare Größen wie den Wahrscheinlichkeitsstrom sein muß 8 .
7 Wir verwenden hier o.b.d.A. das Schrödinger-Bild der Zeitentwicklung.
8 Diese Größe ist physikalisch beobachtbar, denn man kann die Anzahl der Teilchen eines im durch ψ beschriebenen
Zustand präparierten Ensembles zählen, die in einem bestimmten Zeitintervall dt durch ein Flächenelement d ⃗ F fliegen. Der
Erwartungswert dieser Anzahl von Teilchen (pro einlaufendes Teilchen) ist dann definitionsgemäß durch dN = dtd ⃗ F · ⃗j
gegeben.
95