Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 7 · Einführung in die Quantenelektrodynamik
Die Raum-Raum-Komponenten berechnen wir mit Hilfe der Modenentwicklung (7.2.6) in analoger
Weise wie eben beim Elektron-Positron-Propagator. In der Energie-Impulsdarstellung ergibt sich (Übung!)
∆ ab
⊥ (k) = δ ab − ka k b
1
⃗k 2 k 2 + i0 . (7.2.19)
+
Im folgenden ist es bequemer, die Gleichungen (7.2.18) und (7.2.19) in die kovariante Schreibweise zu
bringen. Dies wird durch Einführung eines zusätzlichen konstanten Vierervektors U µ = (1,0,0,0)
ermöglicht. Der Grund dafür ist, daß wir dann die Strahlungseichbedingungen ⃗ ∇ · ⃗A = 0 und A 0 = 0
in die äquivalente manifest kovariante Form
bringen können. Zunächst ist
∂ µ A µ = 0, U µ A µ = 0 (7.2.20)
Außerdem gilt
−g µν + U µ U ν =
k µ − (k · U )U µ =
0 falls µ = 0 oder ν = 0,
δ µν falls µ,ν ∈ {1,2,3}.
0 falls µ = 0,
k µ falls µ ∈ {1,2,3}
(7.2.21)
(7.2.22)
und
⃗k 2 = (U · k) 2 − k 2 . (7.2.23)
Damit ist
∆ µν
⊥ (k) = −g µν + U µ U ν − [kµ − (k · U )U µ ][k ν − (k · U )U ν
] 1
(U · k) 2 − k 2 k 2 + i0 +
1
= − g µν + k2 U µ U ν − (k · U )(k µ U ν + k ν U µ ) + k µ k ν
.
k 2 + i0 + (k · U ) 2 − k 2
(7.2.24)
Dabei haben wir das Symbol ⊥ als Index an den Propagator geschrieben, um zu betonen, daß es sich um
einen sowohl im Sinne der Vierer- als auch der Dreierimpulsvektoren um einen transversalen Propgator
handelt, denn offenbar gilt
k µ ∆ µν
⊥ (k) = U µ ∆µν (k) = 0. (7.2.25)
⊥
Um die Feynman-Regeln für die Störungstheorie herzuleiten, benötigen wir zunächst den Wechselwirkungsanteil
des Hamilton-Operators. Dieser ist einfach durch int = − int gegeben, wobei für A 0
die Lösung (7.1.20) der Bewegungsgleichung für diese Feldkomponente einzusetzen ist, d.h.
∫
H int = d 3 ⃗x −qA(x) ⃗ ·⃗j(x) + 1 ∫
d 3 ⃗x d
3 2
∫ 3 ⃗x ′ q 2
3 3 4π|⃗x − ⃗x ′ | j0 (t, ⃗x)j 0 (t, ⃗x ′ ) (7.2.26)
mit dem Viererstromoperator des Dirac-Feldes
j µ (x) = ψ(x)γ µ ψ(x). (7.2.27)
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