Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2
Galilei-Symmetrie
Die Analyse der grundlegenden physikalischen Theorien im Hinblick auf ihre Symmetrien kann in
ihrer Bedeutung für die moderne Physik nicht überschätzt werden. Nicht zuletzt gestatten erst die fundamentalen
Symmetrieprinzipien eine mathematisch konsistente physikalische Begründung der Observablenalgebra,
insbesondere der Kommutatorrelationen zwischen den Observablenoperatoren,
der Quantentheorie. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Symmetrien des Galilei-Newtonschen
Raum-Zeit-Kontinuums und wie diese im Rahmen der Quantentheorie formuliert werden können.
Dabei ergeben sich interessante Folgerungen, die zum Teil über die heuristische Quantisierung
klassischer Observablen hinausgehen, wie wir sie in QM I verwendet haben, um zu einer quantentheoretischen
Beschreibung von Teilchen zu gelangen. Insbesondere wird sich die Existenz einer in der
klassischen Physik der Punktteilchen unbekannten Form des Drehimpulses, nämlich des Spins von
Teilchen ergeben.
2.1 Die Galileigruppe in der Newtonschen Mechanik
Die grundlegenden Annahmen der Newtonschen Mechanik lassen sich sehr anschaulich in Form von
Symmetrieprinzipien formulieren. So sagt das 1. Newtonsche Gesetz (der Trägheitssatz) aus, daß es
spezifische Bezugssysteme gibt, in denen Teilchen, auf die keine Kräfte wirken, sich stets geradlinig
gleichförmig bewegen und daß ein Beobachter durch kein physikalisches Experiment irgendeine Form
von absoluter Geschwindigkeit feststellen kann. Die grundlegenden Naturgesetze müssen also in allen
zueinander geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssystemen gleich aussehen, d.h. die Gleichungen
sind invariant unter Galilei-Boosts. Seien (t, ⃗x) die Zeit und die drei Raumkomponenten eines
Punktteilchens bzgl. einer kartesischen Basis, welches zusammen mit der Festlegung irgendeines in diesem
Bezugssystem ruhenden Koordinatenursprungs ein Inertialsystem definiert. Bewegt sich nun der
Ursprung eines anderen Inertialsystems, in dem die Zeit und Ortskoordinaten durch (t ′ , ⃗x ′ ) gegeben
seien, relativ zum ersten Bezugssystem mit der Geschwindigkeit ⃗w 1 , so gilt
t ′ = t, ⃗x ′ = ⃗x − ⃗w 1 t, (2.1.1)
wobei wir stillschweigend Newtons Grundannahme, daß die Zeit unabhängig von jeglichen physikalischen
Vorgängen in allen Inertialsystemen gleich verläuft, verwendet haben. Diese Transformationen
nennt man Galilei-Boosts.
Sie bilden mathematisch gesehen eine Gruppe mit der Hintereinanderausführung als Gruppenmultiplikation.
Führen wir nämlich einen weiteren Boost zu einem dritten Inertialsystem (t ′′ , ⃗x ′′ ), welches
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