Quantentheorie II - FIAS

6.2 · Das klassische Teilchenbild
erfüllen muß. Wir verlangen der Bequemlichkeit halber das positive Vorzeichen, damit ein Anwachsen
des Parameters λ der positiven Zeitrichtung entspricht.
Weiter ist klar, daß für jede eigentlich orthochrone Lorentztransformation Λ ebenfalls die Bedingung
(6.2.1) gelten muß, also
Λ 0 dx ν
ν > 0. (6.2.2)
dλ
Wir wollen nun zeigen, daß dies nur dann gewährleistet ist, wenn dx/dλ zeit- oder lichtartig ist.
Betrachten wir also zunächst einen raumartigen Vierervektor a, von dem wir ohne Beschränkung der
Allgemeinheit verlangen dürfen, daß sein räumlicher Teil in 3-Richtung weist, d.h. a 1 = a 2 = 0 und
a 3 > 0 ist, 1 und wenden einen beliebigen Lorentzboost der Gestalt (6.1.21) an. Dann ist
a ′ 0 = a 0 coshη − a 3 sinhη (6.2.3)
Angenommen a 0 > 0. Da nach Voraussetzung der Raumartigkeit a 2 = (a 0 ) 2 −(a 3 ) 2 < 0, ist 0 > a 3 > a 0 .
Verlangen wir also a ′0 < 0, müssen wir nur η so wählen, daß
a 0 coshη < a 3 sinhη ⇒ tanhη > a 0 /a 3 . (6.2.4)
Da a 0 /a 3 < 1 und tanhη → 1 für η → ∞, ist eine solche Wahl von η stets möglich. Das bedeutet aber,
daß in der Tat dx/dλ für unsere Trajektorie nicht raumartig sein darf, damit stets (6.2.2) erfüllt ist.
Genau dieselbe Betrachtung zeigt, daß man für licht- und zeitartige Vektoren a durch einen eigentlich
orthochronen Lorentzboost das Vorzeichen der Zeitkomponente nicht ändern kann, da |tanhη| < 1
für jedes reelle η, so daß also die Weltlinie eines Teilchens stets so beschaffen sein muß, daß die Tangenten
überall zeit- oder lichtartig sind. Wir nennen solche Trajektorien im Minkowskiraum schlechthin
einfach zeit- oder lichtartig.
Nehmen wir nun zunächst an, wir hätten eine zeitartige Trajektorie vorliegen. Greifen wir einen beliebigen
Punkt, charakterisiert durch λ = λ 0 heraus. Dann kann man stets einen Lorentzboost der Form
(6.1.28) finden, so daß d⃗x ′ /dλ| λ=λ0 = 0 ist. Dazu braucht man nur mit der Geschwindigkeit
⃗v = d⃗x
dλ
−1 dx0
(6.2.5)
zu boosten (Übung). Wegen der Zeitartigkeit der Trajektorie ist ja | ⃗v| < 1! Dies ist das Ruhesystem des
Teilchens, in dem es momentan (also zu dem durch λ = λ 0 gegebenen Zeitpunkt) ruht.
Wir können uns diese Lorentzboosts nun zu jedem Punkt entlang der Trajektorie ausgeführt denken.
Dies definiert mit dem Teilchen mitbewegte Inertialsysteme, und man bezeichnet die in diesen Inertialsystemen
gemessenen Zeitelemente dτ als die Eigenzeitelemente des Teilchens. Es wäre nun äußerst
mühsam, diese Eigenzeitelemente für eine gegebene Trajektorie zu berechnen, wenn man all diese Lorentztransformationen
tatsächlich ausführen müßte. Dies ist aber gar nicht notwendig, denn wir können
aufgrund der Lorentzinvarianz dx ′ = (dτ,0,0,0) schreiben
dλ
dτ 2 = dx ′ · dx ′ = dx · dx, (6.2.6)
und von einem beliebigen Ereignis λ 0 an gezählt vergeht also die Eigenzeit
∫
√
λ √√
dx
τ(λ) = dλ ′ dx
λ 0
dλ ′ dλ . (6.2.7)
′
Da weiter offenbar dτ/dλ > 0 ist, können wir auch die Eigenzeit des Teilchens als Parameter der Weltlinie
verwenden.
1 Ist das nicht der Fall, können wir zunächst eine räumliche Drehung anwenden, um dies zu erreichen.
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