Quantentheorie II - FIAS

Anhang C
Formeln für die QED
In diesem Anhang stellen wir einige Formeln für die störungstheoretische Berechnung von Matrixelementen
in der QED zusammen.
C.1 Dirac-Spinoren
Im Zusammenhang mit der Dirac-Gleichung haben wir die Dirac-Matrizen γ µ eingeführt. Viele benötigte
Formeln können wir allein aufgrund der Antikommutatorregeln
herleiten. Oft benötigen wir die Pseudohermitezitätsrelationen
{γ µ ,γ µ } = 2g µν (C.1.1)
γ 0 γ µ γ 0 = (γ µ ) † .
(C.1.2)
Im Zusammenhang mit den Feynmanregeln sind manchmal die Kontraktionsidentitäten
γ µ γ µ = 4,
γ µ γ ν γ µ = −2γ ν ,
γ µ γ ν γ ρ γ µ = 4g νρ ,
γ µ γ ν γ ρ γ σ γ µ = −2γ σ γ ρ γ ν .
(C.1.3)
(C.1.4)
(C.1.5)
(C.1.6)
Beweis: die erste Identität folgt unmittelbar aus (C.1.1)
γ µ γ µ = g µν γ µ γ ν = 1 2 g µν {γ µ ,γ ν } = g µν g µν = δ µ µ = 4.
(C.1.7)
Daraus folgt die zweite Identität durch einmaliges Anwenden der Antikommutatorrelation (C.1.1)
γ µ γ ν γ µ = γ µ [{γ ν ,γ µ } − γ µ γ ν ] = 2γ µ g νµ − γ µ γ µ γ ν (C.1.3)
= 2γ ν − 4γ ν = −2γ ν . (C.1.8)
Auf diese Art können wir fortfahren. Beweisen wir noch (C.1.5):
γ µ γ ν γ ρ γ µ = γ µ γ ν [{γ ρ ,γ µ } − γ µ γ ρ ] (C.1.4)
= 2γ ρ γ ν + 2γ ν γ ρ = 2{γ ρ ,γ ν } = 4g ρν . (C.1.9)
Der Beweis folgt dann auf exakt analoge Weise (Übung!).
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