Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
Wir können dabei annehmen, daß |ψ 1 〉 ≠ 0 und |ψ 2 〉 ≠ 0, denn andernfalls wären beide Seiten der
Ungleichung = 0, und somit die Behauptung erfüllt.
Zum Beweis von (1.2.20) setzen wir
Dann folgt aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts (1.2.10)
|ψ〉 = |ψ 1 〉 − 〈ψ 2 |ψ 1 〉
‖ψ 2 ‖ 2 |ψ 2 〉. (1.2.21)
0 ≤ 〈ψ|ψ〉 = ‖ψ 1 ‖ 2 + |〈ψ 2 |ψ 1 〉|2
‖ψ 2 ‖ 2 − 2 |〈ψ 2 |ψ 1 〉|2
‖ψ 2 ‖ 2 = ‖ψ 1 ‖ 2 − |〈ψ 2 |ψ 1 〉|2
‖ψ 2 ‖ 2 , (1.2.22)
und daraus folgt durch einige einfache Umformungen (1.2.20). Daraus ergibt sich aber sofort auch
(1.2.19), denn es gilt
〈ψ 1 |ψ 2 〉 + 〈ψ 2 |ψ 1 〉 ≤ |〈ψ 1 |ψ 2 〉 + 〈ψ 2 |ψ 1 〉| ≤ 2|〈ψ 1 |ψ 2 〉| ≤ 2‖ψ 1 ‖‖ψ 2 ‖. (1.2.23)
Damit ist die Dreiecksungleichung (1.2.18) bewiesen.
Physikalisch impliziert die Hilbertraumstruktur der Zustände das Superpositionsprinzip, dem gemäß
für zwei oder mehr Zustandsvektoren auch jede Linearkombination wieder einen möglichen Zustand
repräsentiert.
Wichtige Beispiele für konkrete Hilberträume, die in der Quantentheorie eine Rollen spielen, sind
der Hilbertsche Funktionenraum der quadratintegrablen Funktionen L 2 ( 3 ) und der Hilbertsche
Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen l 2 .
Der erste Fall L 2 ( 3 ) entspricht der Formulierung der Quantentheorie als Schrödingersche Wellenmechanik.
Dabei werden die quantenmechanischen Zustände durch Funktionen ψ : 3 → repräsentiert,
für die das Integral
∫
〈ψ|ψ〉 = ‖ψ‖ 2 = d 3 x |ψ(⃗x)| 2 (1.2.24)
3
existiert. Für zwei solcher Funktionen existiert dann auch das Skalarprodukt
∫
〈ψ 1 |ψ 2 〉 := d 3 x ψ ∗ 1 (⃗x)ψ 2 (⃗x). (1.2.25)
3
Es ist eine einfache Übungsaufgabe nachzuweisen, daß die Axiome (1.2.1-1.2.6) und (1.2.8-1.2.11) gelten.
Hinsichtlich (1.2.11) müssen wir allerdings vereinbaren, daß wir Funktionen, für die (1.2.24) verschwindet
mit der Funktion ψ(⃗x) ≡ 0 identifizieren. Das bedeutet anders ausgedrückt, daß zwei Funktionen
bereits als gleich angesehen werden, wenn sie sich nur in abzählbar vielen Stellen des 3 voneinander
unterscheiden.
Entsprechend besteht der Folgenraum l 2 aus allen Folgen ψ = (ψ n ) n∈ , für die
existiert, und das Skalarprodukt wird durch
〈ψ|ψ〉 = ‖ψ‖ 2 =
〈ψ 1 |ψ 2 〉 =
12
∞∑
|a n | 2 (1.2.26)
n=1
∞∑
ψ ∗ 1n ψ 2n (1.2.27)
n=1