Quantentheorie II - FIAS

4.3 · Fockraumformulierung für Observablen
Dabei haben wir uns (1.3.4) bedient. Setzen wir dies in (4.3.17) ein und führen zunächst das Integral
über ⃗x ′′ und die Summe über σ ′′ aus, erhalten wir
∫
⃗P (Fock) =
dξ ψ † (ξ )(−i ⃗ ∇)ψ(ξ ). (4.3.20)
Angenommen wir betrachten Systeme von Teilchen, die nicht untereinander wechselwirken, so ist auch
der Hamiltonoperator ein Einteilchenoperator:
H (N)
1
=
N∑
k=1
⃗p
2
k
2m + V (⃗x k )
. (4.3.21)
Dabei ist V irgendein äußeres Potential (man denke z.B. an Elektronen, die sich in einem äußeren
elektrostatischen Feld bewegen). Die Berechnung des Einteilchenmatrixelements bzgl. der Einteilchen-
Orts-Spin-Basis berechnet sich wieder auf analoge Weise wie beim Impulsoperator. Das Ergebnis für
die Einteilchengesamtenergie im Fockraum ist schließlich (Übung!)
∫
H (Fock) =
1
Ebenso zeigt man, daß der Gesamtspinoperator durch
∫
⃗S (Fock) =
dξ ψ † (ξ ) − 1
2m ∆ + V (x) ψ(ξ ). (4.3.22)
dξ ψ † (⃗x,σ) ∑ σ ′ ⃗s σ,σ ′ψ(⃗x,σ ′ ) (4.3.23)
gegeben ist (Übung!).
4.3.3 Zweiteilchenoperatoren
Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen wird i.a. durch ein Potential beschrieben, wobei wir der
Einfachheit annehmen, die Kräfte seien Zentralkräfte und unabhängig von den Spinfreiheitsgraden der
Teilchen. Für ein N-Teilchensystem lautet der entsprechende Operator
V (N) = 1 ∑
V (|⃗x
2
2
j1
− ⃗x j2
|). (4.3.24)
j 1 ≠ j 2
Mit einer ähnlichen Rechnung wie oben für Einteilchenoperatoren zeigt man, daß die äquivalente Formulierung
im Fockraum
V (Fock) = 1 ∫
2
2
dξ 1
∫
dξ 2 V (|⃗x 1 − ⃗x 2 |)ψ † (ξ 1 )ψ † (ξ 2 )ψ(ξ 2 )ψ(ξ 1 ) (4.3.25)
lautet (Übung!). Dabei ist für Fermionen auf die Reihenfolge der Erzeuger und Vernichter zu achten.
Dieser Beitrag ist im Fall wechselwirkender Teilchen zu (4.3.22) zu addieren, um den Gesamthamiltonoperator
zu erhalten.
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