Quantentheorie II - FIAS

6.3 · Das klassische elektromagnetische Feld
vorgegebenen Ladungsverteilungen ρ und Stromdichteverteilungen ⃗ j . Bzgl. eines kartesischen Bezugssystems
lauten sie
rot ⃗ E + ∂ ⃗ B
∂ t = 0, div ⃗ B = 0, (6.3.1)
rot ⃗ B − ∂ ⃗ E
∂ t = ⃗ j , div ⃗ E = ρ. (6.3.2)
Die physikalische Bedeutung des elektrischen und magnetischen Feldes ergibt sich aus der durch sie verursachten
Kraftwirkung auf Probeladungen. Auf eine Punktladung q wirkt demnach die Lorentzkraft
⃗F = q ⃗ E + ⃗v × ⃗ B
. (6.3.3)
Die Maxwellgleichungen zerfallen, ihrer mathematischen Struktur, nach in die in (6.3.1 wiedergegebenen
homogenen Maxwellgleichungen, welche das Faradaysche Induktionsgesetz sowie die Nichtexistenz
magnetischer Ladungsdichten beinhalten, und die inhomogenen Gleichungen (6.3.2), die
die Erregung der Felder aus den elektrischen Ladungs- und Stromverteilungen beschreiben, also das
um den Maxwellschen Verschiebungsstrom ergänzte Ampéresche Durchflutungsgesetz sowie das
Gaußsche Gesetz umfassen.
Eine sehr wichtige Folgerung aus den inhomogenen Gleichungen ergibt sich, indem man die Divergenz
des Ampére-Maxwellschen Durchflutungsgesetzes und dann in der entstehenden Gleichung die
Zeitableitung des Gaußschen Gesetzes verwendet. Ohne Bezugnahme auf die Bewegungsgleichungen
für die Ladungen und Ströme, die wir den Maxwellgleichungen hinzuzufügen hätten, wollten wir ein
abgeschlossenes physikalisches System beschreiben, ergibt sich dann das Gesetz von der Erhaltung der
elektrischen Ladung:
∂ ρ
∂ t + div ⃗ j = 0. (6.3.4)
Daß diese lokale Gleichung tatsächlich die Erhaltung der Ladung beinhaltet, erkennt man durch Integration
dieser Kontinuitätsgleichung über ein beliebiges zeitlich unveränderliches Volumen V , dessen
Berandungsfläche wir mit ∂ V bezeichnen wollen und Anwendung des Gaußschen Integralsatzes:
dQ V
dt
= d dt
∫
V
∫
d 3 ⃗xρ(t, ⃗x) = −
∂ V
d 2 ⃗ A· ⃗ j (t, ⃗x). (6.3.5)
Dabei haben wir die Flächennormalenvektoren d 2 ⃗ A wie in der Vektoranalysis üblich aus dem betrachteten
Volumen V herausgerichtet. Gl. (6.3.5) besagt aber nun, daß die zeitliche Änderung der im Volumen
V befindlichen elektrischen Ladung allein durch den Fluß elektrischer Ladungen durch dessen
Oberfläche verursacht sein kann. Dehnt man das Volumen auf den ganzen Raum 3 aus, ergibt sich auf
der rechten Seite 0, da wir annehmen dürfen, daß die Stromdichte im Unendlichen hinreichend schnell
verschwindet. Demnach ist also die Gesamtladung erhalten, d.h. Q 3 = const.
Die homogenen Gleichungen können durch die Einführung der Elektrodynamischen Potentiale identisch
erfüllt werden. Aus der Divergenzfreiheit des magnetischen Feldes gemäß der zweiten der Gleichungen
(6.3.1) folgt die Existenz eines Vektopotentials, so daß
⃗B = rot ⃗ A (6.3.6)
gilt. Diese Gleichung ins Faradaysche Induktionsgesetz (6.3.1) (erste Gleichung) eingesetzt liefert dann
rot
⃗E + ∂ A
= 0. (6.3.7)
∂ t
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