Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
Jetzt denken wir uns die Rechnung, die wir schon für C (2) ausgeführt haben, nacheinander jeweils für
das äußerste und eines der innersten Integrale ausgeführt und die Ergebnisse der entstehenden Gleichungen
addiert. Dann erhält man nach Division durch n
C (n) (t) = 1 n! c
∫ t
0
d t 1 ···
∫ t
0
d t 2 Y(t 1 )··· Y(t n ), (1.13.24)
und dies ist die Behauptung für k = n, so daß diese nach dem Prinzip der vollständigen Induktion
bewiesen ist.
Wir können also nunmehr die Reihe (1.13.18) symbolisch in der Form
C(t) = c exp − i ∫ t
dτY(τ)
(1.13.25)
ħh
schreiben. Damit haben wir unser Anfangsbwertproblem (1.13.12-1.13.13) gelöst. Wir bemerken noch,
daß für einen zeitunabhängigen Operator Y = const (1.13.25) tatsächlich in (1.13.14) übergeht.
Schließlich müssen wir uns noch mit der Zeitentwicklung der Observablenoperatoren beschäftigen.
Leiten wir also (1.13.4) nach der Zeit ab:
0
Ȯ(t) = Ȧ(t)O(t 0 )A† (t) + A(t)O(t 0 )Ȧ† (t)
= Ȧ(t)A† (t)O(t)A(t)A † (t) +A(t)A † (t)
} {{ } } {{ }
O(t)A(t)Ȧ† (t).
=1
=1
Wie in der Rechnung (1.9.7) folgt aus der Unitarität von A(t)
(1.13.26)
Setzen wir dies in (1.13.26) ein, erhalten wir
Ȧ(t)A † (t) = −A(t)Ȧ† (t). (1.13.27)
Ȯ(t) =
O(t),A(t)Ȧ† (t) , (1.13.28)
und der Vergleich mit (1.13.2) zeigt, daß für A(t) die Bewegungsgleichung
A(t)Ȧ† (t) = 1 X(t) (1.13.29)
iħh
erfüllt sein muß. Multiplikation von links mit A † (t) = A −1 (t) und anschließendes Adjungieren der
entstehenden Gleichung liefert
Ȧ(t) = + i X(t)A(t). (1.13.30)
ħh
Diese Gleichung ist bis auf das Vorzeichen auf der rechten Seite von der gleichen Bauart wie (1.13.12).
Da weiter auch wieder die Anfangsbedingung
A(0) = 1 (1.13.31)
erfüllt sein muß, können wir also die Lösung unter Berücksichtigung der besagten Vorzeichenänderung
sofort von (1.13.25) übernehmen:
A(t) = c exp + i ∫ t
dt ′ X(t ′ ) . (1.13.32)
ħh 0
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