Quantentheorie II - FIAS

6.4 · Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Da die Π µ gemäß (6.4.1) offensichtlich keine Vektorfelder sind, geht in der Hamiltonschen Formulierung
des kanonischen Formalismusses für Felder die manifeste Lorentz-Invarianz ohnehin verloren.
Daher verfolgen wir hier die Strategie, die Eichung vollständig zu fixieren und nur mit den verbleibenden
physikalischen Feldfreiheitsgraden zu arbeiten. Wie wir in Abschnitt 6.3.3 gesehen haben, ist eine
bequeme Eichfestlegung für das freie Feld die Strahlungseichung, d.h.
A 0 = 0, ⃗ ∇ · ⃗ A = 0. (6.4.3)
Damit ist das Problem mit dem fehlenden kanonisch konjugierten Feldimpuls zu A 0 gelöst, denn wir
haben diesen Freiheitsgrad durch die Eichfixierung eliminiert. Die zweite Gleichung besagt dann, daß
⃗A transversal ist, d.h. bei ebenen Wellen ist A ⃗ orthogonal zum Wellenvektor k, ⃗ der die Ausbreitungsrichtung
der Welle festlegt.
Da wir nun ohnehin endgültig die manifest kovariante Schreibweise verlassen haben, können wir nun
auch in der jetzt bequemeren dreidimensionalen Schreibweise weiterrechnen. Die Lagrangedichte ist
eichinvariant, und es gilt
= 1 2 ( ⃗ E 2 − ⃗ B 2 ). (6.4.4)
Die Felder ⃗ E und ⃗ B haben wir dabei durch ⃗ A auszudrücken. Unter Berücksichtigung der Eichbedingungen
(6.4.3) gilt
⃗E = −∂ t
⃗ A− ⃗ ∇A 0 = − ˙⃗ A, ⃗ B = ⃗ ∇ × ⃗ A. (6.4.5)
Zusätzlich muß auch noch die zweite Eichbedingung in (6.4.3) erfüllt werden. Diese fordern wir als
Nebenbedingung. Die Lagrange-Dichte für die eichfixierte Theorie lautet also
= 1 2
Die kanonischen Feldimpulse sind dann
und die Hamilton-Dichte lautet folglich
˙⃗A 2 − ( ⃗ ∇ × ⃗ A) 2
⃗Π = ∂
mit ⃗ ∇ · ⃗ A = 0. (6.4.6)
∂ ˙⃗ A
= ˙⃗ A = − ⃗ E, (6.4.7)
= Π ⃗ · ˙⃗ 1 A− =
2 ( E ⃗2 + B ⃗2 ) = 1 ⃗Π 2 + ( ∇ ⃗ × A) ⃗ 2 . (6.4.8)
2
Diese Hamilton-Dichte stimmt mit der oben aus dem Noether-Theorem bestimmten Energiedichte
des elektromagnetischen Feldes (6.3.87) überein, wie es sein muß. Die Hamiltonschen kanonischen
Gleichungen lauten gemäß (4.3.57)
˙⃗A = ∂
∂ Π ⃗ − ∇ ⃗ ∂
·
∂ ( ∇ ⃗ Π) ⃗ = Π, ⃗ (6.4.9)
∂
˙⃗Π = −
∂ A ⃗ − ∇ ⃗ ∂
·
∂ ( ∇ ⃗ A) ⃗ = ∆A ⃗ = −∇ ⃗ × ( ∇ ⃗ × A). ⃗ (6.4.10)
Dabei haben wir im letzten Schritt die Nebenbedingung ⃗ ∇ · ⃗A = 0 berücksichtigt. Mit (6.4.7) und
⃗B = ⃗ ∇ × ⃗ A, erhalten wir daraus in der Tat die quellenfreien Maxwell-Gleichungen, also (6.3.1) und
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