Quantentheorie II - FIAS

1.11 · Der Propagator als Green-Funktion der Schrödingergleichung
denken. Im Heisenbergbild sind die |ψ〉 definitionsgemäß zeitlich konstant. Die Eigenzustände von
A(t) sind hingegen wegen (1.11.2) zeitabhängig. Aus
folgt durch Einsetzen von (1.11.2)
Multiplizieren wir diese Gleichung von links mit B † , folgt
A(t)|a, t〉 = a |a, t〉 (1.11.5)
B(t, t 0 )A(t 0 )B † (t, t 0 )|a, t 0 〉 = a |a, t〉. (1.11.6)
A(t 0 )B † (t, t 0 )|a, t〉 = aB † (t, t 0 )|a, t〉 (1.11.7)
Daraus folgt, daß B † (t, t 0 )|a, t〉 Eigenvektor von A(t 0 ) zum Eigenwert a ist. Damit ist also
B † (t, t 0 )|a, t〉 = |a, t 0 〉 ⇒ |a, t〉 = B(t, t 0 )|a, t 0 〉. (1.11.8)
Ist dann |α; t〉 ein VONS von irgendwelchen Energieeigenvektoren (wobei α wieder die Eigenwerte
irgendwelcher drei voneinander unabhängiger mit H kompatibler Observabler bezeichnet), so können
wir die Zeitentwicklung der Wellenfunktion in der Energiedarstellung sofort angeben 6 :
˜ψ(t,α) = 〈α, t |ψ〉 = 〈B(t, t 0 )α, t 0 |ψ〉 =
= exp
iE(α)(t − t0 )
ħh
= exp − iE(α)(t − t 0 )
ħh
exp
iH(t − t0 )
α, t 0 ψ
ħh
α, t 0 ψ = exp − iE(α)(t − t 0 )
ħh
˜ψ(t 0 ,α).
〈α, t 0 |ψ〉
(1.11.9)
Damit können wir aber auch die Zeitentwicklung in jeder anderen Basis nach den entsprechenden
Energieeigenfunktionen bzgl. dieser Basis ausdrücken, z.B. in der Ortsdarstellung
∫
ψ(t, ⃗x) = 〈⃗x, t |ψ〉 = dα 〈⃗x, t |α, t 〉〈α; t |ψ〉
∫
= dα u α (⃗x)exp − iE(t − t 0 )
(1.11.10)
˜ψ(t
ħh
0 ,α).
Dabei sind die Energieeigenfunktionen in der Ortsdarstellung zeitunabhängig, denn es gilt wegen der
Unitarität des Zeitentwicklungsoperators (1.11.3)
u α (⃗x) = 〈⃗x, t |α; t 〉 = 〈B(t, t 0 )⃗x, t 0 | B(t, t 0 )α, t 0 〉
= ⃗x, t 0
B † (t, t 0 )B(t, t 0 )α, t 0
= 〈⃗x, t0 |α, t 0 〉.
(1.11.11)
Wie wir oben gesehen haben, können wir die u α (⃗x) über die zeitunabhängige Schrödingergleichung
berechnen. Dies folgt im jetzigen Kontext sehr einfach aus
Ĥ u Eα (⃗x) := 〈⃗x, t |HE,α; t 〉 = E 〈⃗x; t | E,α; t 〉 = E u Eα (⃗x). (1.11.12)
6 Für das freie Teilchen können wir z.B. für α die drei Komponenten des Impulses wählen, die miteinander und mit H
vertauschen. Für ein Teilchen in einem radialsymmetrischen Potential können wir für α den Energieeigenwert E selbst sowie l
und m, also die Bahndrehimpulsbetragsquantenzahl (Eigenwert ħh l (l +1) von L 2 ) und die „Magnetquantenzahl“ entsprechend
dem Eigenwert mħh von L z
, verwenden.
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