Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
Demnach besitzt dieses Polynom entweder eine einzige doppelte reelle Nullstelle oder zwei verschiedene
zueinander komplex konjugierte Nullstellen. Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen
muß also für die Diskriminante des Polynoms
1
4 〈ψ|i[A, B]ψ〉2 − ∆A 2 ∆B 2 ≤ 0 (1.5.8)
oder
∆A∆B ≥ 1 |〈ψ|i[A, B]ψ〉| (1.5.9)
2
gelten. Dies ist die Heisenbergsche Unschärferelation für irgendwelche Observablen A und B. Sind
insbesondere A und B kompatibel, können also deren Werte simultan scharf festgelegt werden, so kommutieren
die entsprechenden Operatoren A und B, und die rechte Seite der Ungleichung verschwindet,
und die Ungleichung ergibt dann keine echte Einschränkung für das Produkt der Standardabweichungen.
Betrachten wir die Unschärferelation insbesondere für Ort und Impuls. Aus der konkreten Darstellung
der entsprechenden Operatoren für die Orts- und Impulskomponenten im Ortsraum (1.3.4) ergeben
sich die Kommutatorrelationen (Heisenberg-Algebra)
x j ,x k
=
p
j
,p k
= 0,
x j ,p k
= iħhδ j k . (1.5.10)
Dies in (1.5.9) eingesetzt ergibt die bekannte Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls
∆x j ∆ p k ≥ ħh 2 δ j k . (1.5.11)
Es können also nur Komponenten von Ort und in Impuls in zueinander senkrechten Richtungen
gleichzeitig scharf bestimmt sein. Ein vollständiger Satz kompatibler Observabler kann in diesem Falle
als die drei Orts- oder die drei Impulskomponenten oder z.B. x 1 und p 2 , p 3 etc. gewählt werden.
1.6 Unitäre Abbildungen
Unitäre Abbildungen sind dadurch definiert, daß sie linear sind und Skalarprodukte beliebiger Vektoren
ungeändert lassen, d.h. es gilt für alle Vektoren |ψ〉 1
,|ψ 2 〉 ∈
Offensichtlich ist dies genau dann der Fall, wenn
〈Uψ 1 | Uψ 2 〉 = 〈ψ 1 |ψ 2 〉. (1.6.1)
U † U = 1 (1.6.2)
ist. Dies folgt daraus, daß für ein VONS u
j des Hilbertraums
j ∈
δ j k = Uu j
Uuk
=
u j
U † Uu k
= (U † U) j k (1.6.3)
und folglich
U † U = ∑
(U † u
∑
U) j k j uk = u j u j = 1 (1.6.4)
j k
} {{ }
j
δ j k
24