Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 6 · Einführung in die relativistische Quantentheorie
Daher muß der Ausdruck in der Klammer durch ein Skalarpotential Φ darstellbar sein. Folglich läßt
sich also das elektrische Feld durch
⃗E = − ∂ A ⃗ − gradΦ (6.3.8)
∂ t
ausdrücken. Umgekehrt ist klar, daß bei beliebig vorgegebenen Potentialen Φ und ⃗ A die durch (6.3.6)
und (6.3.8) definierten Felder ⃗ B und ⃗ E die homogenen Maxwellgleichungen identisch erfüllen (6.3.1).
Nun ist es aber auch klar, daß für vorgegebene Felder ⃗ E und ⃗ B die Potentiale Φ und ⃗ A nicht eindeutig
bestimmt sind. Gemäß (6.3.6) können wir nämlich den Gradienten eines beliebigen Skalarfeldes χ zu
⃗A hinzufügen:
⃗A ′ = ⃗ A+ gradχ . (6.3.9)
Um auch (6.3.8) bei vorgegebenem Feld ⃗ E zu genügen, müssen wir dann lediglich Φ durch
Φ ′ = Φ − ∂ χ
∂ t
(6.3.10)
ersetzen. Diese Symmetrie der durch die Potentiale ausgedrückten Gleichungen bezeichnet man als
Eichsymmetrie. Sie wird bei der quantentheoretischen Behandlung der elektromagnetischen Erscheinungen
noch eine herausragende Rolle spielen.
Wir wenden uns nun auch den inhomogenen Maxwellgleichungen zu. Setzen wir also (6.3.6) und (6.3.8)
in die Gleichungen (6.3.2) ein, so ergibt sich nach Verwendung der in kartesischen Koordinaten gültigen
Identität
rotrot ⃗ A = graddiv ⃗ A− ∆ ⃗ A (6.3.11)
die folgende Form des Maxwell-Ampéreschen Gesetzes:
wo wir den d’Alembert-Operator
grad
div ⃗ A+ ∂ Φ
∂ t
+ □ ⃗ A = ⃗ j , (6.3.12)
□ = ∂ 2
∂ t 2 − ∆ (6.3.13)
eingeführt haben.
Offenbar können wir nun (6.3.12) vereinfachen, wenn wir die Nebenbedingung
div ⃗ A+ ∂ Φ
∂ t = 0 (6.3.14)
verlangen. Diese Freiheit läßt uns die oben festgestellte Eichinvarianz. Nehmen wir nämlich an,
Gl. (6.3.14) sei nicht erfüllt, können wir neue Potentiale gemäß (6.3.9) und (6.3.10) wählen und verlangen,
daß für sie (6.3.14) gilt. Dies ergibt für das Eichfeld χ die Forderung
□χ = − ∂ Φ
∂ t − div ⃗ A. (6.3.15)
Wir werden sogleich sehen, daß wir für diese Gleichung stets eine Lösung angeben können. Freilich ist
χ dadurch noch nicht vollständig bestimmt, denn wir können immer noch eine Eichtransformation
mit einem Eichfeld ˜χ zulassen, für das □ ˜χ = 0 erfüllt ist. Die Nebenbedingung (6.3.14) schränkt dann
jedoch die Eichinvarianz auf solche Eichfelder ein. Daher nennt man (6.3.14) eine Eichbedingung.
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