Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 4 · Vielteilchensysteme aus freien Teilchen
einsetzen und die untere Integrationsgrenze nach −∞ ausdehnen. Verwenden wir wieder (4.5.56), erhalten
wir
p
2
(2s + 1)V
U = F =
1
2m 20mπ 2 (2mµ)5/2 + 5 2
πkB
T 2 + [(βµ) −4 . (4.5.60)
8 µ
Ein wichtiges Resultat für das freie Elektronengasmodell für Metalle ist die spezifische Wärme. Zufolge
(3.3.6) müssen wir dazu U bei festgehaltenem N und V nach der Temperatur ableiten. Dazu benötigen
wir zunächst die entsprechende Ableitung von µ nach T . Aus N,V = const folgt mit der Kettenregel
durch Ableitung von (4.5.57) nach T
0 = 3
∂ µ µ
2 ∂ T
V,N
+ π2 k 2 B
4 µ T + (T 2 ) ⇒
∂ µ
Wieder mit der Kettenregel erhalten wir für die spezifische Wärme
c V,N = 1 N
∂ U
∂ T
V,N
∂ T
V,N
= − π2 k 2 B
6
T
µ + (T 2 ). (4.5.61)
(2s + 1)
= (2mµ) 3/2 π 2 k2 B T
12π 2
µN + (T 2 ) = π2 k 2 B T
2µ + (T 2 ). (4.5.62)
Dies ist eine direkte Konsequenz des Quantencharakters der Elektronen, die sich in diesem Falle bei
niedrigen Temperaturen dadurch bemerkbar macht, daß die Elektronen zur spezifischen Wärme des
Metalls bei niedrigen Temperaturen kaum beitragen.
Wir müssen noch die Güte der obigen Näherung abschätzen. Ableiten von (4.5.31) nach α ergibt für
den Fall von Fermionen
(2s + 1)V 2m 3/2 ∫ ∞ x
N = dx
4π 2 β
1 + exp(x + α) , (4.5.63)
so daß die Größe
Q =
4π2 N β 3/2 ∫ ∞ x
= dx
(2s + 1)V 2m
1 + exp(x + α)
0
0
(4.5.64)
ein Maß für das Quantenverhalten des Gases darstellt, denn der klassische Limes ergibt sich für α → ∞,
und dann ist Q klein, während es im Quantenlimes α → −∞ groß wird. Für den Fall der Leitungselektronen
in Metallen, die sich in erster Näherung als ideales Fermigas behandeln lassen, ergibt sich die
Temperatur, wo das Verhalten des Gases klassisch wird (also bei Q ≈ 1) zu Θ ≈ 10 5 K ≈ 8.6eV. Demnach
ist das Elektronengas, welches eine grobe Näherung für das Verhalten der Leitungselektronen in
Metallen darstellt, bei Raumtemperaturen (T Raum ≃ 293 K) entartet. Dies erklärt, warum die Leitungselektronen
zur spezifischen Wärme von Metallen bei Raumtemperatur kaum beitragen. Die Erklärung
dieses Effekts geht auf Sommerfeld zurück: Drude hatte nämlich aus der Idee, daß die Leitungselektronen
in Metallen näherungsweise als ideales Boltzmann-Gas behandelt werden können, eine recht gute
Erklärung für die Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit und der Wärmeleitfähigkeit
(Wiedemann-Franzsches Gesetz) von Metallen gefunden. Allerdings ergab sein Modell einen viel zu hohen
Beitrag seines klassischen Elektronengases zur spezifischen Wärme. Wie Sommerfeld dann gezeigt
hat, ist dies auf die Gasentartung bei Raumtemperatur zurückzuführen.
4.5.3 Das entartete Bose-Gas
Wir betrachten nun das entartete Bose-Gas genauer. Wir diskutieren wieder die Eigenschaften des Gases
bei fester mittlerer Teilchenzahl. Aus (3.2.9) folgt mit (4.5.31) durch gliedweises Differenzieren der
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