Quantentheorie II - FIAS

1.3 · Lineare Operatoren im Hilbertraum
Machen wir uns daher die Problematik an einem typischen Beispiel klar und betrachten den Impulsoperator
(1.3.4) im L 2 . Der Einfachheit halber betrachten wir ein Teilchen, das sich nur eindimensional
entlang der x-Achse bewegt. Der Hilbertraum ist dann einfach L 2 (), der Raum der quadratintegrablen
Funktionen ψ : → . Wir suchen also Eigenwerte und Eigenfunktionen für den Differentialoperator
p = ħh d
, d.h. wir suchen Lösungen der Differentialgleichung
i dx
pu p (x) = ħh i
Offensichtlich gibt es zunächst für p ∈ eine Lösung, nämlich
d
dx u p (x) = p u p (x). (1.3.7)
i p x
u p (x) = N p exp
ħh
. (1.3.8)
Dabei ist N p = const. Offensichtlich ist für kein p die Funktion u p ∈ . Sie liegt noch nicht einmal in
L 2 ! Für p ∈ ist allerdings die Funktion wenigstens beschränkt, während sie für Im p ≠ 0 für x → ∞
unbeschränkt ist. Wie wir gleich noch sehen werden, ist es für die Quantenmechanik allerdings nicht
so wichtig, daß wir es mit echten Eigenvektoren zu tun haben. Vielmehr ist die Entwicklung beliebiger
Zustandsvektoren nach Eigenvektoren, die im Falle selbstadjungierter Operatoren orthornormiert
gewählt werden können, wichtig. Existieren wie hier keine echten Eigenvektoren, so existieren doch
welche im Sinne verallgemeinerter Funktionen oder Distributionen. In der Tat gilt im gegebenen Fall
der verallgemeinerten Impulseigenfunktionen für p, p ′ ∈
∫
u p ′ u p = N
∗
i( p − p ′
)x
2 p − p
′
p
N ′ p dx exp
= N
ħh
p 2πδ
ħh
2
= 2πħh N p δ( p − p ′ ).
(1.3.9)
Hierbei ist δ die Diracsche δ-Distribution 1 . Üblicherweise wählt man in der nichtrelativistischen
Quantentheorie die Normierungskonstante in (1.3.8) so, daß
u p ′ u p = δ( p − p ′ 1
) ⇒ N p =
2πħh
(1.3.10)
gilt. Wie wir weiter unten noch genauer ausführen werden, ist die nun immer noch unbestimmte Phase
der Wellenfunktion irrelevant. Wir können also N p = 1/ 2πħh wählen. Damit sind unsere verallgemeinerten
Impulseigenfunktionen durch die ebenen Wellen
u p (x) = 1 i p x
exp
2πħh ħh
(1.3.11)
gegeben.
Untersuchen wir nun, in welchem Sinne dieses verallgemeinerte Orthonormalsystem vollständig ist.
Zunächst müssen wir für eine Funtion ψ ∈ L 2 gemäß (1.2.48) das verallgemeinerte Skalarprodukt
˜ψ( p) = u p
ψ
=
∫
dx
exp
2πħh
− i p x
ħh
1 Näheres zur Fouriertransformation und zur δ-Distribution finden Sie in [CH10].
ψ(x) (1.3.12)
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