Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
sich gegen das Inertialsystem (t ′ , ⃗x ′ ) mit der Geschwindigkeit ⃗w 2 bewegt, aus, erhalten wir zusammen
mit (2.1.1)
t ′′ = t ′ = t, ⃗x ′′ = ⃗x ′ − ⃗w 2 t ′ = ⃗x − ( ⃗w 2 + ⃗w 1 )t. (2.1.2)
Die Gesamttransformation, die direkt von den Größen im Inertialsystem (t, ⃗x) zum System (t ′′ , ⃗x ′′ )
führt, ist also ihrerseits durch einen Galileiboost gegeben, und zwar dem mit der Geschwindigkeit
⃗w 3 = ⃗w 1 + ⃗w 2 . Schreiben wir den Galilei-Boost mit Geschwindigkeit ⃗w formal als Matrix-Vektormultiplikation
in der Form
t t
B( ⃗w) =
⃗x
⃗x − ⃗w t
⎛
⎞
1 0 0 0
mit B( ⃗w) = ⎜
−w x 1 0 0
⎟
⎝−w y 0 1 0⎠ , (2.1.3)
−w z 0 0 1
ergibt sich diese Hintereinanderausführung durch die Matrizenmultiplikationsregel
B( ⃗w 2 )B( ⃗w 1 ) = B( ⃗w 1 + ⃗w 2 ) = B( ⃗w 1 )B( ⃗w 2 ). (2.1.4)
Es ist weiter klar, daß B( ⃗w = 0) = 1 4 das neutrale Element der Gruppe und B(− ⃗w) das zu B( ⃗w)
inverse Element ist. Da weiter wegen (2.1.4) diese Boost-Matrizen kommutieren, nennt man diese
Galilei-Boost-Gruppe eine Abelsche Gruppe.
Dies sind freilich noch nicht alle Symmetrien der Galilei-Newtonschen Raumzeit. Es wird weiter vorausgesetzt,
daß die Naturgesetze sich nicht mit der Zeit ändern. Es kann also auch kein absoluter Zeitpunkt
gegenüber irgendeinem anderen Zeitpunkt ausgezeichnet sein. Außerdem gehen wir davon aus,
daß die Naturgesetze auch an jedem Ort die gleichen sind. Die Naturgesetze müssen also auch unter
Raum-Zeit-Translationen invariant sein, d.h. ändern wir den Ursprung der Zeitrechnung und den
Koordinatenursprung um irgendwelche konstanten Werte, also
t ′ = t − α,
⃗x ′ = ⃗x ′ − ⃗a ⇔ def t
T (α, ⃗a) =
⃗x
t − α
⃗x − ⃗a
(2.1.5)
dürfen sich die Bewegungsgleichungen eines Systems von Punktteilchen nicht ändern. Es ist klar, daß
auch diese Transformationen, die wir mit T (α, ⃗a) bezeichnen wollen, untereinander eine Abelsche
Gruppe bilden, denn es gilt offenbar
T (α 2 , ⃗a 2 )T (α 1 , ⃗a 1 ) = T (α 1 + α 2 , ⃗a 1 + ⃗a 2 ). (2.1.6)
Ebenso bilden die Transformationen, die sich aus beliebigen Hintereinanderausführungen von Galilei-
Boosts und Raum-Zeit-Translationen erzeugen läßt, eine Gruppe, allerdings keine Abelsche (Übung).
Schließlich wird für jeden (inertialen) Beobachter der Raum als euklidisch angenommen, so daß auch
keine Wahl irgendeines kartesischen Basissystems gegenüber einem anderen ausgezeichnet ist, d.h. auch
die Orientierung des Bezugssystems ist durch kein physikalisches Phänomen absolut bestimmt. Demnach
müssen die Naturgesetze auch unter räumlichen Drehungen invariant sein:
t ′ = t, ⃗x ′ = ˆR( ⃗ φ)⃗x. (2.1.7)
Dabei ist ⃗ φ ein Vektor, dessen Richtung ⃗n = ⃗ φ/φ mit φ = 0 ≤ | ⃗ φ| ≤ π die Richtung der Drehachse
und dessen Betrag φ den Drehwinkel im Sinne der Rechte-Handregel angibt. Um diese Drehung soll die
Basis des Bezugssystems (t ′ , ⃗x ′ ) gegen die des Bezugssystems (t, ⃗x) verdreht sein. Konkret erhält man die
58